Permutationsmatrix

15.09.2006, 20:41	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
Permutationsmatrix Guten Abend! Hab hier diese Permutationsmatrix: $\begin{eqnarray} P_n=\begin{pmatrix} 0 &0&... & 1 \\ 1 & 0&... & 0 \\ ... & ... & ...&...\\ 0 & ... & 1 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie kann ich zeigen, dass die EW von P_n der Gleichung $\begin{eqnarray} \lambda^n =1 \end{eqnarray}$ genügen? Hab das mal für $\begin{eqnarray} P_4 \end{eqnarray}$ ausprobiert. da bekomm ich für das char.Poly $\begin{eqnarray} p(\lambda)=\lambda^4-1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda^4=1 \end{eqnarray}$ ... nur bringt mich das nich wirklich weiter. als tip steht dabei, dass man die det $\begin{eqnarray} (P_n - \lambda I ) \end{eqnarray}$ nach der ersten zeile entwickeln soll: $\begin{eqnarray} det(P_n - \lambda I) = -\lambda det\begin{pmatrix} -\lambda &0&... & 0 \\ 1 & -\lambda &... & 0 \\ ... & ... & ...&...\\ 0 & ... & 1 & -\lambda \end{pmatrix} + det \begin{pmatrix} 1 &-\lambda &... & 0 \\ 0 & 1 &... & 0 \\ ... & ... & ...&...\\ 0 & ... & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ stimmt das ? und dann wären die EW gegeben durch die n.ten Einheitswurzeln $\begin{eqnarray} \lambda_j = e^{2\pi ij/n} \end{eqnarray}$ und j = 0,...,n-1. das versteh ich aber nicht könnt ihr mir helfen?? viele grüße
15.09.2006, 22:02	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest ein Auge auf die Sätze haben, die du vorher beweisen solltest - die könnten sich als nützlich erweisen: eigenwerte Damit's nicht zu kryptisch wird: Wie lauten denn die Eigenwerte von $\begin{eqnarray} P_n^n \end{eqnarray}$ ?
15.09.2006, 23:42	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
die Eigenwerte von $\begin{eqnarray} P_n^n \end{eqnarray}$ ?? warum "hoch n" ?? hm, ich dachte damit $\begin{eqnarray} \lambda^n=1 \end{eqnarray}$ gilt, müsste $\begin{eqnarray} \lambda = 1 \end{eqnarray}$ sein? aber bei dem tipp steht ja etwas anderes...
16.09.2006, 02:14	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} P_n^n=E \end{eqnarray}$ , das sollte nicht so schwer zu erkennen sein. Und wenn $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ein EW von $\begin{eqnarray} P_n \end{eqnarray}$ ist, dann muss gemäß referenziertem Satz der Wert $\begin{eqnarray} \lambda^n \end{eqnarray}$ ein EW von $\begin{eqnarray} P_n^n=E \end{eqnarray}$ sein. Nun hat aber $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ nur den EW 1 (in algebraischer und geometrischer Vielfachheit $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ), womit also zwangsläufig $\begin{eqnarray} \lambda^n=1 \end{eqnarray}$ folgt. Aber Achtung Falle: Das heißt NICHT, dass man auf diesem Weg auf die EW-Gleichung $\begin{eqnarray} \lambda^n-1=0 \end{eqnarray}$ schließen darf, dass also alle n-ten Wurzeln von 1 auch tatsächlich EW von $\begin{eqnarray} P_n \end{eqnarray}$ sind. Aber das war auch nicht gefordert, wenn man die Aufgabenstellung genau liest.
16.09.2006, 10:23	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank für deine erklärungen! Warum siehst du das so schnell: $\begin{eqnarray} P_n^n=E \end{eqnarray}$ ?? so wie du das geschrieben hast ist es schon einleuchtend dass $\begin{eqnarray} \lambda^n =1 \end{eqnarray}$ sein muss, aber ich versteh noch nicht, was ich mit diesen Einheitswurzeln $\begin{eqnarray} \lambda_j = e^{2\pi ij/n} \end{eqnarray}$ machen soll?? und warum wird vorgeschlagen, die determinante zu berechnen, wenn man es auch so zeigen kann? oder langt das andere nicht als beweis?? viele grüße
16.09.2006, 16:12	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Übrigen gilt ja wenn $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von P ist so ist $\begin{eqnarray} \lambda^m \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} P^m \end{eqnarray}$ Nun sind Permutationsmatrizen noch Orthognal, das heißt die Eigenwerte sind betragsmäßig 1, da wir über den reellen Zahlen sind also +-1 Nun wissen wir also schon das $\begin{eqnarray} \lambda^n = \pm 1 \end{eqnarray}$ sein muss. Müssmer nur noch des minus weg bekommen (Das nur als alternativen weg)
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