abgeschlossenheit von c in l max

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schmouk Auf diesen Beitrag antworten »
abgeschlossenheit von c in l max
Hi, it's me again,

hallo Ihr. Ich sitz mal wieder vor den Analysis Aufgaben. Ich bin schon recht weit, für meine Verhältnisse gekommen. Allerdings häng ich jetzt doch.
(Ich bemühe mich um Verständlichkeit)

Aufgabe: c ist Menge der konvergenten Folgen (ich schätze das ist allg. Konvention)

zz: c ist abgeschlossener UR von bzgl. der Supremumsnorm

c ist UR von hab ich hingekriegt.

Ann.: c ist abgeschlossen.

Angenommen c ist offen, dann existiert min. eine Folge in c mit
Dann ist abgeschlossen.
Dass heißt, der Greznwert alle Folgen in liegt auch in dieser Menge. Es existieren aber gar keine konvergenten Folgen in .
Da, sobald es eine gäbe, die zu c gehören würde.

Das ist die Frage. Was ist aus der Erkenntnis denn zu schließen. Sind Mengen die keine konvergenten Folgen enthalten, abgeschlossen oder offen?


Grüße und vielen lieben Dank,

Schmouki
kaguya_hime Auf diesen Beitrag antworten »

>Ann.: c ist abgeschlossen.
>
>Angenommen c ist offen, dann...

Kleiner Denkfehler: Mengen in der Topologie sind keine Türen.^^
Sie können gleichzeitig offen und abgeschlossen oder auch gar nichts von beidem sein.
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

ach quak. wenn die abgeschlossenheit über die offenheit der komplementärmenge definiert ist, kann sie schlecht offen und abgeschlossen zur gleichen Zeit sein. Oder wie soll das gehen?
kaguya_hime Auf diesen Beitrag antworten »

Der ganze Raum ist z.B. offen und abgeschlossen.^^

Noch was:
Folgen in und sind hier Raumpunkte. Eine Folge in
ist also eine Folge von Folgen. Nyaah unglücklich

EDIT: Punkte in c sind Folgen meine ich. Also sind Folgen von Punkten Folgen von Folgen. unglücklich unglücklich
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

ah cool. und jetzt nehm ich an c sei abgeschlossen. was folgt dann???
nicht dass abgeschlossen ist?

Zitat:
Der ganze Raum ist z.B. offen und abgeschlossen.^^


Was heißt eigentlich dieses "^^" ?
Und bist Du dir sicher, dass gleichzeitig gilt, "die Grenzwerte der Folgen sind auch in der Menge" und "die Grenzwerte der Folgen sind nicht in der Menge"?

EDIT: Ich geb' mal noch nen Schuss ins Blaue ab:
Der Grenzwert einer Folge von konvergenten Folgen ist wieder eine konvergente Folge. Dann muss der Grenzwert auch in c liegen. Und deshalb ist c nich offen sondern abgeschlossen.
kaguya_hime Auf diesen Beitrag antworten »

^^ bedeutet: "im Axiomensystem von Zermelo-Fränkel". ^___^ Augenzwinkern Augenzwinkern


Worauf ich hinauswollte, ist: Es gibt hier zwei Ebenen, auf denen man von Folgen, Konvergenz etc. spricht.
Diese hast Du einmal in Deinem Beweisansatz durcheinandergebracht.

Beispiel:
Eine Folge von Elementen aus ist eine Folge von Folgen. Nun kann man untersuchen,
ob diese Folge von Folgen gegen eine Folge konvergiert. Sei a die Folge .
Dann konvergiert die konstante Folge (in )
gegen die (divergente) Folge a.
 
 
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das versteh ich. also auch wenn es in keine konvergenten Folgen als Elemente gibt, kann es die doch zwischen den den Elementen in geben.

Gegen was konvergieren denn jetzt Folgen von konvergenten Folgen? Wieder gegen konvergenten Folgen?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von schmouk
Gegen was konvergieren denn jetzt Folgen von konvergenten Folgen? Wieder gegen konvergenten Folgen?


Das ist hier die Frage (bzw. Behauptung). Du sollst folgendes zeigen: "Der Grenzwert jeder in konvergenten Folge von Elementen (also Folgen) aus c liegt wieder in c."
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

ja, dass ich das zeigen möchte weiß ich.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Gut. Dann fang so an:

Sei eine Folge von Elementen aus c, welche in konvergiert. Das heißt, für jedes n ist eine konvergente Folge in IR: und es gibt ein so dass für

Folgere nun, dass x eine (in IR) konvergente Folge ist.
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abgeschlossenheit von c in l max
Zitat:
Original von schmouk

zz: c ist abgeschlossener UR von bzgl. der Supremumsnorm


Ist das "bzgl. der Sup.Norm" der Grund dafür, dass du die Konvergenz mit der Norm beschreibst (sagt man das so?). Hat die Tatsache, dass der Raum normiert ist, eigentlich noch irgendwelche auswirkungen die bei mir Warntafeln aufleuchten lassen sollten?

Verständnisfragen: das ist die n-te Reele Folge und in ihrer Gesamtheit das Element aus c? Bedeutet das (n) noch was anderes als eine Bezeichnung des Gliedes?

EDIT: Nur mal so eine Vermutung:

und das soll gegen gehen.
dann ist das der fall, wenn

Nein. Voll daneben. ist auch nur Folge in IR

Aber dann ist es so:

Ich weiß weiter nur, dass es zu jeder Folge in c auch den Grenzwert gibt, nach definition.
Also ist noch die Frage ob gegen konvergiert. oder was?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abgeschlossenheit von c in l max
Zitat:
Original von schmouk
Verständnisfragen: das ist die n-te Reele Folge und in ihrer Gesamtheit das Element aus c?


Nein. ist das k-te Folgenglied (eine reelle Zahl) der Folge
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

So, aber komplett formalisieren, kann ich das noch nicht. Aber erstmal die Schlussfolgerung.

c Menge der Konvergente Folgen, Menge der Beschränkten Folgen.




Angenommen, es existiert eine konvergente Folge (x_n)_n in c mit Grenzwert x irgendwo in , dann gilt



d.h.

und da nach Vor. für jetzt x_n ein Grenzwert existiert, also konvergent ist, existiert er also auch für x. Und deshalb ist auch x konvergent und in c. Also c abgeschlossen.

EDIT: Oder muss ich noch darauf eingehen, dass jedes Glied in gegen jedes Glied in x konvergiert?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich greife dir mal ein wenig unter die Arme. Seien und Dann gilt für alle



Denn Also:



Weiter gilt



Das bedeutet







Auch das wollen wir in einer Formel festhalten:



Folgere nun aus (1) und (2), dass eine Cauchyfolge ist und damit konvergiert. Dann bist du fertig, denn dann ist gezeigt.
kaguya_hime Auf diesen Beitrag antworten »

dreckige Lösung:^^

ist das Urbild von unter der Abbildung
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Dann musst du aber erstmal zeigen, dass diese Abbildung stetig ist.
kaguya_hime Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist schnell erledigt: Seien mit .
Dann ist .
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Aha. Du meinst also, dass

limsup(x+y) = limsup(x) + limsup(y)

gilt?
kaguya_hime Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das liegt mir fern. Es gilt ja nur in diesem Fall. Die Stelle ist aber tatsächlich noch nicht korrekt und ich muss annehmen, dass oBdA .
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Gut. Beweis dafür:

Seien und reelle Folgen. Wir wählen eine Teilfolge die gegen konvergiert. Dann folgt



EDIT: Jo, das ist dann das schnellste, was geht, würd ich sagen. Schön! smile
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

Wegen (1) ist
und auch
.

wegen Dreiecksungleichung folgt

Wegen (2) ist dann und .

n gegen unendlich, ist doch richtig oder?

So und jetzt weiß ich wieder nicht ob schon ohne weiteres aus, der abstand zwischen und wird für große indizes beliebig klein, sprich Cauchy gilt, folgt, dass das dann gleichermaßen für und für gilt.

Aber wenn, daaaann gilt das Cauchykriterium in x und damit ist x konvergent, da jede Cauchyfolge konvergiert und in c Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von schmouk
Wegen (1) ist
und auch
.

wegen Dreiecksungleichung folgt

Wegen (2) ist dann und .

n gegen unendlich, ist doch richtig oder?


Nein. Entschuldige, aber das ist völliger Blödsinn.
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

dann erklär mir bitte mal was 2 bedeutet.

ich hab das so verstanden, dass die k-ten Glieder pro n-ter Folge letztlich gegen das a_k in x gehen. unglücklich
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja auch richtig. Zumindest folgt dies aus (2). Aber na und? Was hat das mit meiner Aufforderung

Zitat:
Original von WebFritzi
Folgere nun aus (1) und (2), dass eine Cauchyfolge ist.


zu tun, auf die du noch kein einziges mal eingegangen bist?
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, next try:

Aus (1) jedes konvergent folgt jedes cauchy.

also erstens gilt mal
und für ein beliebiges l ebenso
und also auch (Cauchy)


aus (1) und (2) zusammen folgt dann: es existiert wie du sagst (danke übrigens) für alle n, also erst recht für min. eins:



und auch für mindestens ein l:



Meingedanke ist jetzt der, dass für große Indizes gelten muss.

Für Große Inizes ist aber wegen Cauchy in (1) auch




also
und damit ist x cauchy-folge ?

sehr waage. Vor allem das .
Aber anderes fällt mir leider nicht ein. Üben, üben, üben.
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