abgeschlossenheit von c in l max |
16.05.2009, 22:56 | schmouk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
abgeschlossenheit von c in l max hallo Ihr. Ich sitz mal wieder vor den Analysis Aufgaben. Ich bin schon recht weit, für meine Verhältnisse gekommen. Allerdings häng ich jetzt doch. (Ich bemühe mich um Verständlichkeit) Aufgabe: c ist Menge der konvergenten Folgen (ich schätze das ist allg. Konvention) zz: c ist abgeschlossener UR von bzgl. der Supremumsnorm c ist UR von hab ich hingekriegt. Ann.: c ist abgeschlossen. Angenommen c ist offen, dann existiert min. eine Folge in c mit Dann ist abgeschlossen. Dass heißt, der Greznwert alle Folgen in liegt auch in dieser Menge. Es existieren aber gar keine konvergenten Folgen in . Da, sobald es eine gäbe, die zu c gehören würde. Das ist die Frage. Was ist aus der Erkenntnis denn zu schließen. Sind Mengen die keine konvergenten Folgen enthalten, abgeschlossen oder offen? Grüße und vielen lieben Dank, Schmouki |
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16.05.2009, 23:09 | kaguya_hime | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
>Ann.: c ist abgeschlossen. > >Angenommen c ist offen, dann... Kleiner Denkfehler: Mengen in der Topologie sind keine Türen.^^ Sie können gleichzeitig offen und abgeschlossen oder auch gar nichts von beidem sein. |
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16.05.2009, 23:15 | schmouk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ach quak. wenn die abgeschlossenheit über die offenheit der komplementärmenge definiert ist, kann sie schlecht offen und abgeschlossen zur gleichen Zeit sein. Oder wie soll das gehen? |
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16.05.2009, 23:24 | kaguya_hime | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der ganze Raum ist z.B. offen und abgeschlossen.^^ Noch was: Folgen in und sind hier Raumpunkte. Eine Folge in ist also eine Folge von Folgen. Nyaah EDIT: Punkte in c sind Folgen meine ich. Also sind Folgen von Punkten Folgen von Folgen. |
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16.05.2009, 23:32 | schmouk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ah cool. und jetzt nehm ich an c sei abgeschlossen. was folgt dann??? nicht dass abgeschlossen ist?
Was heißt eigentlich dieses "^^" ? Und bist Du dir sicher, dass gleichzeitig gilt, "die Grenzwerte der Folgen sind auch in der Menge" und "die Grenzwerte der Folgen sind nicht in der Menge"? EDIT: Ich geb' mal noch nen Schuss ins Blaue ab: Der Grenzwert einer Folge von konvergenten Folgen ist wieder eine konvergente Folge. Dann muss der Grenzwert auch in c liegen. Und deshalb ist c nich offen sondern abgeschlossen. |
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16.05.2009, 23:50 | kaguya_hime | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
^^ bedeutet: "im Axiomensystem von Zermelo-Fränkel". ^___^ Worauf ich hinauswollte, ist: Es gibt hier zwei Ebenen, auf denen man von Folgen, Konvergenz etc. spricht. Diese hast Du einmal in Deinem Beweisansatz durcheinandergebracht. Beispiel: Eine Folge von Elementen aus ist eine Folge von Folgen. Nun kann man untersuchen, ob diese Folge von Folgen gegen eine Folge konvergiert. Sei a die Folge . Dann konvergiert die konstante Folge (in ) gegen die (divergente) Folge a. |
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17.05.2009, 00:05 | schmouk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, das versteh ich. also auch wenn es in keine konvergenten Folgen als Elemente gibt, kann es die doch zwischen den den Elementen in geben. Gegen was konvergieren denn jetzt Folgen von konvergenten Folgen? Wieder gegen konvergenten Folgen? |
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17.05.2009, 00:21 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist hier die Frage (bzw. Behauptung). Du sollst folgendes zeigen: "Der Grenzwert jeder in konvergenten Folge von Elementen (also Folgen) aus c liegt wieder in c." |
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17.05.2009, 00:24 | schmouk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, dass ich das zeigen möchte weiß ich. |
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17.05.2009, 00:31 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gut. Dann fang so an: Sei eine Folge von Elementen aus c, welche in konvergiert. Das heißt, für jedes n ist eine konvergente Folge in IR: und es gibt ein so dass für Folgere nun, dass x eine (in IR) konvergente Folge ist. |
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17.05.2009, 12:52 | schmouk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: abgeschlossenheit von c in l max
Ist das "bzgl. der Sup.Norm" der Grund dafür, dass du die Konvergenz mit der Norm beschreibst (sagt man das so?). Hat die Tatsache, dass der Raum normiert ist, eigentlich noch irgendwelche auswirkungen die bei mir Warntafeln aufleuchten lassen sollten? Verständnisfragen: das ist die n-te Reele Folge und in ihrer Gesamtheit das Element aus c? Bedeutet das (n) noch was anderes als eine Bezeichnung des Gliedes? EDIT: Nur mal so eine Vermutung: und das soll gegen gehen. dann ist das der fall, wenn Nein. Voll daneben. ist auch nur Folge in IR Aber dann ist es so: Ich weiß weiter nur, dass es zu jeder Folge in c auch den Grenzwert gibt, nach definition. Also ist noch die Frage ob gegen konvergiert. oder was? |
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17.05.2009, 14:24 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: abgeschlossenheit von c in l max
Nein. ist das k-te Folgenglied (eine reelle Zahl) der Folge |
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17.05.2009, 17:43 | schmouk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So, aber komplett formalisieren, kann ich das noch nicht. Aber erstmal die Schlussfolgerung. c Menge der Konvergente Folgen, Menge der Beschränkten Folgen. Angenommen, es existiert eine konvergente Folge (x_n)_n in c mit Grenzwert x irgendwo in , dann gilt d.h. und da nach Vor. für jetzt x_n ein Grenzwert existiert, also konvergent ist, existiert er also auch für x. Und deshalb ist auch x konvergent und in c. Also c abgeschlossen. EDIT: Oder muss ich noch darauf eingehen, dass jedes Glied in gegen jedes Glied in x konvergiert? |
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18.05.2009, 01:41 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK, ich greife dir mal ein wenig unter die Arme. Seien und Dann gilt für alle Denn Also: Weiter gilt Das bedeutet Auch das wollen wir in einer Formel festhalten: Folgere nun aus (1) und (2), dass eine Cauchyfolge ist und damit konvergiert. Dann bist du fertig, denn dann ist gezeigt. |
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18.05.2009, 19:03 | kaguya_hime | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dreckige Lösung:^^ ist das Urbild von unter der Abbildung |
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18.05.2009, 19:24 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann musst du aber erstmal zeigen, dass diese Abbildung stetig ist. |
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18.05.2009, 19:59 | kaguya_hime | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist schnell erledigt: Seien mit . Dann ist . |
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18.05.2009, 20:01 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aha. Du meinst also, dass limsup(x+y) = limsup(x) + limsup(y) gilt? |
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18.05.2009, 20:26 | kaguya_hime | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das liegt mir fern. Es gilt ja nur in diesem Fall. Die Stelle ist aber tatsächlich noch nicht korrekt und ich muss annehmen, dass oBdA . |
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19.05.2009, 01:43 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gut. Beweis dafür: Seien und reelle Folgen. Wir wählen eine Teilfolge die gegen konvergiert. Dann folgt EDIT: Jo, das ist dann das schnellste, was geht, würd ich sagen. Schön! |
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19.05.2009, 15:48 | schmouk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wegen (1) ist und auch . wegen Dreiecksungleichung folgt Wegen (2) ist dann und . n gegen unendlich, ist doch richtig oder? So und jetzt weiß ich wieder nicht ob schon ohne weiteres aus, der abstand zwischen und wird für große indizes beliebig klein, sprich Cauchy gilt, folgt, dass das dann gleichermaßen für und für gilt. Aber wenn, daaaann gilt das Cauchykriterium in x und damit ist x konvergent, da jede Cauchyfolge konvergiert und in c |
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19.05.2009, 15:53 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. Entschuldige, aber das ist völliger Blödsinn. |
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19.05.2009, 16:04 | schmouk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dann erklär mir bitte mal was 2 bedeutet. ich hab das so verstanden, dass die k-ten Glieder pro n-ter Folge letztlich gegen das a_k in x gehen. |
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19.05.2009, 16:17 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist ja auch richtig. Zumindest folgt dies aus (2). Aber na und? Was hat das mit meiner Aufforderung
zu tun, auf die du noch kein einziges mal eingegangen bist? |
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20.05.2009, 00:07 | schmouk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, next try: Aus (1) jedes konvergent folgt jedes cauchy. also erstens gilt mal und für ein beliebiges l ebenso und also auch (Cauchy) aus (1) und (2) zusammen folgt dann: es existiert wie du sagst (danke übrigens) für alle n, also erst recht für min. eins: und auch für mindestens ein l: Meingedanke ist jetzt der, dass für große Indizes gelten muss. Für Große Inizes ist aber wegen Cauchy in (1) auch also und damit ist x cauchy-folge ? sehr waage. Vor allem das . Aber anderes fällt mir leider nicht ein. Üben, üben, üben. |
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