Diagonalisierbarkeit

17.05.2009, 17:31

saz

Diagonalisierbarkeit

Die Aufgabe ist die folgende: Es soll die Diagonalisierbarkeit der folgenden Abbildungsmatrix über $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ geprüft und ggf. eine Transformationsmatrix angegeben werden.

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 8 & 0 & 1 \\ 8 & 8 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich bin darauf gekommen, dass die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 6, \lambda_{2/3} = -3 \pm \imath \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ sind. Die Schlussfolgerung ist also schon mal, dass es nicht über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , aber über $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar ist.

Nun brauche ich ja aber eine Basis aus Eigenvektoren. Zu dem ersten Eigenwert habe ich auch den Eigenraum bestimmt (Austauschverfahren). Mein Problem: Wie bestimme ich jetzt am sinnvollsten die beiden anderen Eigenräume? Austauschverfahren mit komplexen Zahlen ist irgendwie nicht wirklich schön...

17.05.2009, 23:41

WebFritzi

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Ich weiß nicht, was du mit Austauschverfahren meinst. Du musst doch einfach nur die drei Gleichungssysteme

$\begin{eqnarray*} (A - \lambda_j I)x = 0\quad(j=1,2,3) \end{eqnarray*}$

lösen. Dabei soll I die (3x3)-Einheitsmatrix sein.

18.05.2009, 09:00

saz

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Mh naja, Austauschverfahren nimmt man eben zum Invertieren/Rang bestimmen/Lösen von Gleichungssystemen. Steht sogar auch im Taschenbuch der Mathematik so drin, falls ich mich nicht irre ^^ ... Hier steht auch was dazu.

Wie würdest du denn so ein GLS mit komplexen Zahlen lösen?

18.05.2009, 12:33

WebFritzi

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Ich habe das Austauschverfahren nun nicht genauer studiert. Damit berechnet man die Inverse einer Matrix, falls diese existiert (falls also die Matrix invertierbar ist). Hier sind die Matrizen aber nicht invertierbar (sonst wären die lambdas keine Eigenwerte). Das Standardverfahren, solche LGS'e zu lösen, ist das Gauß-Verfahren (http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsc...ationsverfahren).

18.05.2009, 15:15

Komand

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Hi Webfritzi,

Zitat:

Hier sind die Matrizen aber nicht invertierbar (sonst wären die lambdas keine Eigenwerte)

Kannst du mir das genauer erklären? Willst du damit sagen, dass invertierbare Matrizen keine Eigenwerte haben?

Danke!

Komand

18.05.2009, 16:03

WebFritzi

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Nein. Ich meinte, dass

$\begin{eqnarray*} A-\lambda_1 I \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A-\lambda_2 I \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A-\lambda_3 I \end{eqnarray*}$

nicht invertierbar sind.

18.05.2009, 16:31

Komand

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ok, klar. Hätte mich sonst auch gewundert Augenzwinkern

komand

18.05.2009, 18:54

saz

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Zitat:

Original von WebFritzi
Ich habe das Austauschverfahren nun nicht genauer studiert. Damit berechnet man die Inverse einer Matrix, falls diese existiert (falls also die Matrix invertierbar ist).

Nein, das stimmt nicht. Man kann damit auch einwandfrei lineare Gleichungssysteme lösen, wo die Koeffizientenmatrix keine Inverse besitzt. Eigentlich sogar rel. effektiv

Aber okay, wenn's außer Gauß nichts besseres gibt, muss ich mich eben damit rumschlagen.

18.05.2009, 19:02

WebFritzi

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Zitat:

Original von saz

Zitat:

Original von WebFritzi
Ich habe das Austauschverfahren nun nicht genauer studiert. Damit berechnet man die Inverse einer Matrix, falls diese existiert (falls also die Matrix invertierbar ist).

Nein, das stimmt nicht. Man kann damit auch einwandfrei lineare Gleichungssysteme lösen, wo die Koeffizientenmatrix keine Inverse besitzt.

Das dürfte dann eine Abwandlung des Verfahrens sein, welches in deinem geposteten Link erklärt wird. Dieses ist definitiv nur für Gleichungssysteme Ax = b anwendbar, bei denen A invertierbar ist.

Zitat:

Original von saz
Aber okay, wenn's außer Gauß nichts besseres gibt, muss ich mich eben damit rumschlagen.

Mach es wie du willst. Das Lösen von LGS lernt man ja bereits in der Schule. Augenzwinkern

18.05.2009, 19:41

saz

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Zitat:

Original von WebFritzi
Das dürfte dann eine Abwandlung des Verfahrens sein, welches in deinem geposteten Link erklärt wird. Dieses ist definitiv nur für Gleichungssysteme Ax = b anwendbar, bei denen A invertierbar ist.

Joa, dort war es nur für das Invertieren verwendet. Wenn man's nicht invertieren kann, ist das Verfahren beim Lösen (des Gleichungssystems) dann eben einfach kürzer ;-) ...

Zitat:

Original von WebFritzi
Mach es wie du willst. Das Lösen von LGS lernt man ja bereits in der Schule. Augenzwinkern

Jipp. Aber hätte ja wie gesagt sein können, dass es noch ein anderes Verfahren gibt, das sich für die Rechnerei mit komplexen Zahlen anbietet. Ist ja sonst doch rel. aufwendig...

Aber ich hab's inzwischen auch schon raus, danke jedenfalls.

18.05.2009, 19:52

WebFritzi

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Dann stell hier bitte deine Lösung rein. Zumindest die Lösungen für die Gleichungssysteme. Das gehört hier zum guten Ton, denn andere wollen vielleicht auch noch mal was von deiner Anfrage haben.

18.05.2009, 20:26

saz

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Wenn du meinst - auch wenn es sich ja gerade nach sowas immer schwer sucht...

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 6 \Rightarrow (A-\lambda_1 \cdot E) \cdot x = 0 \end{eqnarray*}$ hat als Lösung $\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_2 = -3+\sqrt{3} \imath \Rightarrow (A-\lambda_2 \cdot E) \cdot x = 0 \end{eqnarray*}$ hat als Lösung $\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} -1+\sqrt{3}\imath \\ 4 \\ -4-4 \sqrt{3} \imath\end{pmatrix}\cdot t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_3 = -3-\sqrt{3} \imath \Rightarrow (A-\lambda_3 \cdot E) \cdot x = 0 \end{eqnarray*}$ hat als Lösung $\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} -1-\sqrt{3}\imath \\ 4 \\ -4+4 \sqrt{3} \imath \end{pmatrix} \cdot t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

19.05.2009, 02:05

WebFritzi

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Ich meinte eigentlich nicht, dass du die Endlösungen reinstellen solltest, sondern eher den Weg, wie du dahin kommst. Aber gut. Belassen wir es dabei. Viel Erfolg weiterhin!

19.05.2009, 06:13

saz

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Achso mh... naja, wie du schon sagtest - man kann ja nicht mehr machen als irgendwie das Gleichungssystem lösen, insofern wüsste ich jetzt nicht, was ich dazu noch groß schreiben soll Augenzwinkern

19.05.2009, 07:33

WebFritzi

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Naja, wie du die Gleichungssysteme gelöst hast. Das war ja auch deine eigentliche Frage. Die Antwort fehlt nun in diesem Thread.

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