Elemente von F9

18.05.2009, 15:53	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Elemente von F9 Hallo. Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{9}:=\mathbb{F}_{3}[X]/(X^2+1)\mathbb{F}_{3}[X] \end{eqnarray}$ ein Körper mit 9 Elementen ist. Ich frage mich zuerst mal, welche Elemente dieser Körper überhaupt enthält. Also auf jeden Fall ja die 0, 1 und 2 aus $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{3} \end{eqnarray}$ . Aber welche 6 nun noch? Es wird sich dabei ja um Polynome handeln, oder? Ich könnte jetzt raten, aber das würde ja nichts bringen, daher meine Frage: Wie finde ich die Elemente?
18.05.2009, 20:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es handelt sich nicht um Polynome sondern um eine Nullstelle des Polynoms $\begin{eqnarray} X^2+1 \end{eqnarray}$ . Nennen wir sie a, dann ist a²+1=0, und {1,a} ist eine Basis des 2-dimensionalen Vektorraums $\begin{eqnarray} \mathbb F_9=\mathbb F_3^2 \end{eqnarray}$ . Damit haben wir die 9 Elemente 0=(0,0), 1=(1,0), 2=(2,0); a=(0,1), 1+a=(1,1), 2+a=(2,1); 2a=(0,2), 1+2a=(1,2), 2+2a=(2,2). Mit diesen Elementen kannst du rechnen, und zunächst mal die Gruppentafeln aufstellen für $\begin{eqnarray} (\mathbb F_9,+) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\mathbb F_9 - \lbrace 0 \rbrace,\cdot) \end{eqnarray}$ . Zum Beispiel ist a²+1=0, also a²=2. (Ich hoffe, ich habe da keine Fehler eingebaut, mir kommt das alles ganz plausibel und richtig vor - bis zum Beweis des Gegenteils )
19.05.2009, 18:45	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so in etwa habe ich das jetzt auch bestätigt bekommen. Es handelt sich um die Restklassen der Polynome $\begin{eqnarray} \mod X^{2}+1 \end{eqnarray}$ mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{3} \end{eqnarray}$ . Das sind also quasi alle Polynome aus $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{3}[X]_{\text{Grad}<2} \end{eqnarray}$ Also folgt: $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{9}=\{0,1,2,X,X+1,X+2,2X,2X+1,2X+2\} \end{eqnarray}$ . Danke für die Hilfe.
19.05.2009, 19:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so kann man das auch sehen. Genauer sind es die Restklassen dieser Polynome im Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_9=\mathbb F_3[X]/(X^2+1) \end{eqnarray}$ , das ist der Restklassenring nach dem maximalen Ideal $\begin{eqnarray} (X^2+1):=(X^2+1)\cdot\mathbb F_3[X] \end{eqnarray}$ . Bis auf Isomorphie gibt es zu jeder Primzahl p und jeder natürlichen Zahl n genau einen endlichen Körper mit $\begin{eqnarray} p^n \end{eqnarray}$ Elementen. Die Adjunktion einer Nullstelle a , so wie ich das vorschlage , hat vielleicht den Vorteil, daß man die Gruppentafel für die Multiplikation einfacher berechnen kann (wegen a²=2=-1). Man spart sich die vielen Polynomdivisionen.
20.05.2009, 20:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, jester ich habe noch mal ein bißchen nachgedacht und rumgerechnet. Die 9 Vektoren, die ich angegeben hatte, sind nichts anderes als die Polynome, die du angibst. Ein Polynom ist die Folge seiner Koeffizienten, von denen alle bis auf endlich viele 0 sind. Korrekterweise muß man statt $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ die Restklasse $\begin{eqnarray} X\mod (X+1) \end{eqnarray}$ benutzen, und das ist genau eine Nullstelle des Polynoms $\begin{eqnarray} X^2+1 \end{eqnarray}$ im Zerfällungskörper über $\begin{eqnarray} \mathbb F_3 \end{eqnarray}$ . Ich nenne diese Nullstelle a, es ist a=X(mod(X²+1)) und damit ist a²=2, a³=2a, ... Endliche Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_q=\mathbb F_{p^n} \end{eqnarray}$ bekommt man als Restklassenkörper $\begin{eqnarray} \mathbb F_q=\mathbb F_p[X]/(X^n+...) \end{eqnarray}$ nach einem Primpolynom, das ist dasselbe wie ein irreduzibles Polynom $\begin{eqnarray} X^n+... \end{eqnarray}$ . Die $\begin{eqnarray} p^n \end{eqnarray}$ Elemente von $\begin{eqnarray} \mathbb F_q \end{eqnarray}$ sind "quasi" alle Polynome vom Grad kleiner als n. Die Addition in $\begin{eqnarray} \mathbb F_q \end{eqnarray}$ ist die Polynomaddition, wobei die Koeffizienten modulo p addiert werden. Die Multiplikation in $\begin{eqnarray} \mathbb F_q \end{eqnarray}$ ergibt sich daraus, daß man $\begin{eqnarray} X^n=-... \end{eqnarray}$ aus dem Primpolynom kennt, nach dem faktorisiert wurde. (Als lehrreiches Beispiel habe ich die Gruppentafeln $\begin{eqnarray} (\mathbb F_{27},+) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\mathbb F_{27}-\lbrace0\rbrace,\cdot) \end{eqnarray}$ berechnet mit $\begin{eqnarray} \mathbb F_{27}=\mathbb F_3[X]/(X^3+X+1) \end{eqnarray}$ .)
21.05.2009, 11:02	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, und erstmal Danke für deine zusätzliche Mühe. Ja, ich sehe ein, dass es eigentlich nicht richtig ist, so wie ich es aufgeschrieben habe. Es sollte sich bei $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{9}=\{0,1,2,X,X+1,X+2,2X,2X+1,2X+2\} \end{eqnarray}$ eher um die Vertreter der Restklassen handeln, also würde man die einzelnen Elemente besser in eckige Klammern setzen o.Ä. Noch eleganter ist es aber, und da stimme ich dir zu, sich ein a oder so etwas zu definieren. Leider kann ich das mit der Nullstelle nicht so ganz verstehen. Welches $\begin{eqnarray} X \in \mathbb{F}_{3} \end{eqnarray}$ liefert mir denn eine Nullstelle zu $\begin{eqnarray} X^{2}+1 \end{eqnarray}$ . Ich glaube keines. Oder meinst du das nicht so? Ich muss sagen, dass ich nicht weiß, was ein Zerfällungkörper ist...
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21.05.2009, 11:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In $\begin{eqnarray} \mathbb F_3 \end{eqnarray}$ gibt es keine Nullstelle von $\begin{eqnarray} X^2+1 \end{eqnarray}$ , das ist genau so wie mit reellen und komplexen Zahlen. In der Algebra wird bewiesen, daß es zu jedem Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ und jedem Polynom n-ten Grades $\begin{eqnarray} f\in K[X] \end{eqnarray}$ einen Körper $\begin{eqnarray} K' \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} K\subset K' \end{eqnarray}$ , der n Nullstellen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ enthält. Das ist der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ zerfällt in n Linearfaktoren $\begin{eqnarray} (X-a_i), a_i\in K' \end{eqnarray}$ . (L.Kronecker) Darüberhinaus gibt es sogar einen Körper, den algebraischen Abschluß von $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ , der alle Nullstellen aller Polynome aus $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ enthält. (E.Artin) Für reelle Polynome ist der algebraische Abschluß der Körper $\begin{eqnarray} \mathbb R\subset\mathbb R[X]\subset \mathbb C \end{eqnarray}$ der komplexen Zahlen. Das ist der Fundamentalsatz der klassischen Algebra. (C.F.Gauß) Wenn man das weiß, kann man sagen: "Man nehme eine Nullstelle a ..." Wenn man das noch nicht weiß, dann nimmt man die konkrete Nullstelle [X]:=X(mod(X²+1)) aus dem Restklassenkörper - und nennt sie a .
21.05.2009, 11:36	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe. Das ist echt interessant. Aber da das noch nicht vorgekommen ist (und wahrscheinlich in LA auch nicht vorkommen wird), arbeite ich dann leiber mit der konkreten Nullstelle.

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