Integral

18.05.2009, 23:01

Latscher

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Integral

Hallo zusammen.

Ich studiere Maschinenbau und habe in 8 Wochen meine hoffentlich letzte Matheprüfung ;D
Beim lernen mit Kommilitonen sind wir auf ein Flächenintegral (x,y) gestoßen dessen zweite Integrationslösung (über y) uns ein Rätsel ist.

Nachdem ich mit den Zeichen hier nicht ganz klar komme poste ich es "traditionell":

(1/y )*ln |tan(y)|

Die Integrationsgrenzen sind fest, spielen beim Lösungsweg aber keine Rolle.

Uns ist einfach nicht klar mit welchen Regeln man hier zum Erfolg kommt.
Es waren bisher Substitution, partielle Integration und die wirrsten Spekulationen im Gespräch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich danke schon im voraus.

18.05.2009, 23:32

Komand

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Hi,

seit ihr euch sicher, dass das Integral stimmt? Mein Taschenrechner, der eigentlich einiges packt, bekommts nicht hin. Hab grad auch ein bisschen mit den Klassikern Substitution, Partielle... rumgespielt - ist irgendwie kein Weg zu finden
Jetzt wede ich andere Waffen ranlassen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Komand

18.05.2009, 23:35

Latscher

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Sind uns relativ sicher das die erste Integration (über x) richtig ist.
Falls keine anderen User auf einen Lösungsweg kommen, stelle ich Morgen mal die Gesamte Aufgabe rein.

Gruß

18.05.2009, 23:36

Komand

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ok, habs verstanden warum er's nicht packt: der Tangens ist periodisch, deshalb kann er das nur "bestimmt" lösen. Blöd weil wir jetzt keinen Lösungsanhaltspunkt haben. unglücklich

unglücklich

Komand

18.05.2009, 23:42

Komand

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Hi,

also nach kurzer google-Recherche würde ich behaupten, dass sich das nur numerisch lösen lässt. Aber mal sehen, vielleicht hat noch jemand einen Geistesblitz.

Komand

19.05.2009, 02:52

WebFritzi

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Mathematica bekommt's auch nicht hin.

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19.05.2009, 18:53

Komand

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Hi,

poste doch bitte mal die Aufgabe!, würde mich nämlich, da selbst Maschbauer, interessieren, ob es das Integral tatsächlich gibt, oder ihr euch verrechnet habt.

Komand

25.05.2009, 10:06

Latscher

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Leider etwas verspätet aber hier wie gewünscht die ganze Aufgabe.
Ich denke unser erster "Fehler" war das ich dachte es wäre leichter zuerst über x zu integrieren (spielt bei festen Grenzen aber eigentlich keine Rolle oder?).

Ein Gebiet ist begrenzt durch x=1 und x=2 und die Kurven y(x)=Pi/4x nach unten sowie y(x)=arctanx/x nach oben. Berechnen Sie das 2-dimensionale Integral der Funktion f(x,y)=1/(sin(x,y)*cos(x,y)) über dieses Gebiet.

Meine Kollegen und ich würden uns wirklich über eine detaillierte Lösung freuen.

MfG
Latscher

25.05.2009, 10:34

AD

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Zwei Fragen:

1) Wieso ist $\begin{eqnarray*} y_u(x) = \frac{\pi}{4}x \end{eqnarray*}$ im Vergleich zu $\begin{eqnarray*} y_o(x) = \frac{\arctan(x)}{x} \end{eqnarray*}$ eine "untere Kurve" ? Schließlich ist $\begin{eqnarray*} y_u(2) = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 > 0.55 \approx y_o(2) \end{eqnarray*}$ . Oder meinst du am Ende $\begin{eqnarray*} y_u(x) = \frac{\pi}{4x} \end{eqnarray*}$ , dann schreib es bitte auch ohne LaTeX korrekt: y(x)=Pi/(4x)

2) Was bitte verstehst du unter der zweiargumentigen Sinus- bzw. Kosinusfunktion, die du da mit sin(x,y) und cos(x,y) verwendest?

25.05.2009, 11:22

Latscher

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Du hast vollkommen Recht, mir sind leider 2 Fehler unterlaufen.
Hier die fertige überarbeitete und wirklich richtige Aufgabe.

Ein Gebiet ist begrenzt durch x=1 und x=2 und die Kurven y(x)=Pi/(4x) nach unten sowie y(x)=arctanx/x nach oben. Berechnen Sie das 2-dimensionale Integral der Funktion f(x,y)=1/(sin(x*y)*cos(x*y)) über dieses Gebiet

Vielen Dank für deine/eure Mühe!

26.05.2009, 14:35

Latscher

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Hat jetzt keiner mehr Lust mir zu helfen oder is die Aufgabe unlösbar?

26.05.2009, 15:13

AD

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Ok, es geht also um

$\begin{eqnarray*} I := \int\limits_1^2 ~ \int\limits_{\frac{\pi}{4x}}^{\frac{\arctan(x)}{x}} ~ \frac{1}{\sin(xy)\cdot \cos(xy)} ~ \dd y ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt Schritt für Schritt von innen nach außen vorarbeiten. Wenn ich mir deinen ersten Beitrag so betrachte, dann hast du ja dazu schon Ideen - welche?

27.05.2009, 13:37

Latscher

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Also wenn ich regulär erst über x, dann über y integrier komme ich zum richtigen Ergebnis.
Ich wollte lediglich wissen, warum wir bei vertauschter Integrationsreihenfolge auf dieses "Mörder"-integral stoßen. Machen wir etwas falsch?
Eigentlich ist bei festen Grenzen die Reihenfolge doch egal, oder?

Also Arthur, wenn du es vielleicht mal zuerst über X integrierst könntest du mir helfen indem du sagst, "ihr habt da und da einen Fehler" oder "es geht einfach nicht!"

Danke für deine Mühe.

27.05.2009, 15:33

AD

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Warum erzählst du nicht gleich ordentlich, mit vollständigen Formeln, was du willst? Forum Kloppe

Forum Kloppe

Lässt erstmal die Leute schön sinnlos schreiben ... Klasse.

Zur Strafe schreibst du erstmal das Integral in der anderen Integrationsreihenfolge vollständig auf, also insbesondere die Grenzen:

$\begin{eqnarray*} I := \int\limits_?^? ~ \int\limits_?^? ~ \frac{1}{\sin(xy)\cdot \cos(xy)} ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$ .

29.08.2009, 12:29

Mystic

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Hier ein kleiner Tipp, wie man sich die Sache etwas leichter machen kann... Für einen Profi "schreien" der Integrand und auch die Integrationsgrenzen förmlich nach der Substition

x = u, y = v/u

womit allerdings dann auch die Aufgabe verbunden ist, dx dy in du dv "umzurechnen", was aber nicht wirklich ein Problem ist. Der Umrechnungsfaktor ist ja bekanntlich

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u &y_v \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 &0 \\ -\frac v {u^2} &\frac 1 u \end{vmatrix} = \frac 1 u \end{eqnarray*}$

d.h., es gilt dx dy = (du dv)/u. Damit geht das Doppelintegral über in

$\begin{eqnarray*} \int_1^2 \int_{\frac {\pi} 4}^{\arctan u} \frac {du~dv} {u \sin v \cos v} \end{eqnarray*}$

und das schaut doch schon gleich mal um einiges gefälliger aus oder etwa nicht? smile

smile

29.08.2009, 17:00

Mystic

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Hm, noch immer zu schwer? Wie wär's mit einer weiteren Substitution, nämlich

u = x, v = arc tan y

Auch diese drängt sich förmlich auf, da das zweite Integral die Integrationsgrenzen arc tan 1 und arc tan u hat und ferner y=tan v ist, d.h. , die Chancen stehen sehr gut, den Integranden als einfache Funktion von x und y darstellen zu können. Tatsächlich ist

$\begin{eqnarray*} du = dx, dv = dy/(1+y^2) \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {\sin v \cos v} = \frac {\cos^2 v+\sin^2 v} {\sin v \cos v} = \frac {1+\tan^2 v} {\tan v} =\frac {1+y^2} y \end{eqnarray*}$

was durch Einsetzen auf das Doppelintegral

$\begin{eqnarray*} \int_1^2 \int_1^x \frac {dxdy} {xy} \end{eqnarray*}$

führt. Das sollte aber nun wirklich zu schaffen sein...

30.08.2009, 06:42

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mystic
Hm, noch immer zu schwer?

Schonmal bemerkt, dass der letzte Beitrag vor deinem im Mai dieses Jahres geschrieben wurde? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich würde sagen, dass der Fragende nicht mehr besonders an einer Antwort interessiert ist...

30.08.2009, 10:42

Mystic

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Oje, scheint als hätte ich da ohne es zu wollen einen uralten Thread reaktiviert...

Naja, da es schon mal passiert ist, möchte ich das Beste draus machen und zum Thema passend eine kleine challenge für die Experten hier stellen...Kann mir jemand vorrechnen, wie man das Doppelintegral

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^1 \frac {dxdy} {1-xy} \end{eqnarray*}$

löst und zwar allein mit Hilfe von Substitionstechniken, so wie von mir oben vorgeführt?

31.08.2009, 15:09

Mystic

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Das kann hier echt niemand lösen oder liegt's nur daran, dass alle auf Urlaub sind und sich die Sonne auf den Bauch scheinen lassen? smile

smile

Wie auch immer, bevor der Thread wieder in der Versenkung verschwindet, hier noch schnell die Lösung. Wir drehen das Koordinatensystem um 45 Grad im mathematisch positiven Sinn, was der Substitution

$\begin{eqnarray*} x = \frac 1 {\sqrt 2} (u-v) , ~y = \frac 1 {\sqrt 2} (u+v) \end{eqnarray*}$

entspricht. Die u-Achse geht dann durch die Diagonale des Quadrats und wir müssen uns jetzt das Quadrat aus den 2 kongruenten Dreiecken zusammengesetzt denken, die sich durch das Ziehen der Diagonalen senkrecht zur u-Achse ergeben, um zu den neuen Grenzen für u und v zu kommen. Da es sich um eine simple Drehung handelt, ist natürlich dx dy = du dv. (Wer will kann das aber auch wieder so wie in obigen Beispielen nachrechnen!)

Insgesamt ergibt sich somit

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^1 \frac {dxdy} {1-xy} = \int_0^{\frac {\sqrt 2} 2} \int_{-u}^u \frac {dudv} {1-\frac {u^2} 2 +\frac {v^2} 2}+\int_{\frac {\sqrt 2} 2}^{\sqrt 2} \int_{u-\sqrt 2}^{-u+\sqrt 2} \frac {dudv} {1-\frac {u^2} 2 +\frac {v^2} 2}=\ldots = \frac {\pi^2} {18}+\frac {\pi^2} 9= \frac {\pi^2} 6 \end{eqnarray*}$

Da wo ich oben $\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$ geschrieben habe , müssen jetzt noch, wenn man das manuell macht, noch eine Menge Umformungen und Ausrechnungen eingefügt werden, doch ist das nur mehr reines Handwerk ohne besonderen Trick, weshalb ich diesen Teil hier abgekürzt habe (siehe auch den Link weiter unten).

Interessanterweise gibt es aber noch einen anderen Weg, dieses Doppelintegral zu berechnen, nämlich

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^1 \frac {dxdy} {1-xy} = \int_0^1 \int_0^1 \large ( \sum_{k=0}^{\infty} x^ky^k \large ) dxdy= \sum_{k=0}^{\infty} \int_0^1 \int_0^1 x^ky^k =\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1 {(k+1)^2} =\sum_{k=1}^{\infty} \frac 1 {k^2} \end{eqnarray*}$

Wie so oft in der Mathematik, wenn auf zwei verschiedene Arten zu einem Ergebnis kommt, springt eine Formel dabei heraus, und das ist hier nicht anders, nämlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac 1 {k^2} = \frac {\pi^2} 6 \end{eqnarray*}$

Jakob Bernoulli, dessen Lebenstraum es war, eine Formel für diese Reihe zu finden, würde sich wohl im Grab umdrehen, wenn er diese Herleitung sehen könnte.

Wann aber wurde dieser vielleichtl elementarste Beweis dieser Formel gefunden, für die es seit dem ersten Beweis durch Euler wohl mehr als ein Duzend Beweise gibt? Das ist die eigentliche Überrachung, denn das war erst 1983 durch Apostol, siehe

http://www.springerlink.com/content/045l250v885v033u/

Tja, es gibt hin und wieder doch mathematische Kleinodien am Wegesrand, die einfach jarhundertelang übersehen werden, bis mal jemand vorbeikommt, der genauer hinschaut...

04.09.2009, 11:08

mYthos

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Das ist hochinteressant!
Und kürzlich erst wurde mir dieser Sachverhalt anläßlich meines Urlaubes in Kärnten ebenfalls demonstriert. Jetzt habe ich es sogar ausführlich.
Sehr schön.

Gr
mY+

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