Goniometrie - Gleichung über Quadratische Gleichung lösen?

19.05.2009, 07:45

Doppelnull

Goniometrie - Gleichung über Quadratische Gleichung lösen?

Die Goniometrische Gleichung

$\begin{eqnarray*} 3 cos^{2}(x) + sin^{2}(x) + 4 sin (x) cos (x) = 0 \end{eqnarray*}$

habe ich durch $\begin{eqnarray*} cos^{2}(x) \end{eqnarray*}$ dividiert und erhalte

$\begin{eqnarray*} 3 + tan^{2}(x) + 4 tan (x) = 0 \end{eqnarray*}$

das kann ich etwas umstellen nach

$\begin{eqnarray*} tan^{2}(x) + 4 tan (x) + 3 = 0 \end{eqnarray*}$

jetzt hab ich eine Quadratische Gleichung, die ich mit der einfachen p/q Formel ausrechnen kann.

das sieht dann so aus

$\begin{eqnarray*} -\frac{4}{2} ± \sqrt{ \frac{4}{2}^{2} -3} \end{eqnarray*}$

und ergibt für

$\begin{eqnarray*} x1 = -2 + \sqrt{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x2 = -2 - \sqrt{1} \end{eqnarray*}$

wenn ich da jetzt noch k x 180 dranhänge bekomme ich vier falsche Resultate. Wo liegt der fehler?

19.05.2009, 08:21

riwe

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RE: Goniometrie - Gleichung über Quadratische Gleichung lösen?
$\begin{eqnarray*} tanx_{1,2}=-2\pm 1\quad{ } \text{wegen}\quad{ }\frac{4}{2}=2 \end{eqnarray*}$ smile

19.05.2009, 09:49

Doppelnull

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Ach du schei.. Also da hätte ich den Fehler jetzt wirklich nicht vermutet LOL Hammer

Danke dir!

19.05.2009, 10:33

riwe

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du hättest natürlich eleganter

$\begin{eqnarray*} (\frac{4}{2})^2=\frac{4^2}{{2}^2}=\frac{4^2}{4} \end{eqnarray*}$ rechnen können smile

19.05.2009, 12:40

Doppelnull

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Soweit so gut, das Problem bleibt, denn x1 und x2 geben immer noch das selbe. Wie muss ich jetzt mit den Resultaten weiter rechnen?

x1 = ( -2 + 1 ) + k x 180 -> k x 180 wegen tan

x2 = (-2 - 1 ) + k x 180

Ich bekomme als Lösung nur 179, 359, 177 und 357°

Warum stimmt das nicht?

19.05.2009, 13:56

riwe

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liegt das problem bei radianten und graden verwirrt

$\begin{eqnarray*} x_1=-\frac{\pi}{4}+k\cdot \pi \end{eqnarray*}$

19.05.2009, 14:04

Doppelnull

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keine Ahnung verwirrt

19.05.2009, 14:06

riwe

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Zitat:

Original von Doppelnull
keine Ahnung verwirrt

$\begin{eqnarray*} tanx_1=-1\to x_1=-\frac{\pi}{4}\equiv -45° \end{eqnarray*}$

19.05.2009, 16:21

Alex-Peter

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RE: Goniometrie - Gleichung über Quadratische Gleichung lösen?
ich habe als Lösung:

(-1/4) * Pi ; wie RIWE
und 2.Lösung: -atan(3) => -71,565051°

19.05.2009, 17:20

Doppelnull

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Es wäre wirklich super, wenn einer von euch den Lösungsweg erläutern könnte. WOher kommt das -pi/4?

19.05.2009, 17:40

riwe

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Zitat:

Original von Doppelnull
Es wäre wirklich super, wenn einer von euch den Lösungsweg erläutern könnte. WOher kommt das -pi/4?

ich verstehe nicht ganz, warum du am ende so bockig bist verwirrt

du hast bis jetzt alles richtig gemacht Freude

(alles in grad)

lösung 1: $\begin{eqnarray*} tanx_1=-1\to x_1=arctan(-1)\to x_1=-45°\pm k*180° \end{eqnarray*}$

und NICHT $\begin{eqnarray*} x_1=-1\pm k*180 \end{eqnarray*}$

lösung 2: $\begin{eqnarray*} tanx_2=-3\to x_2=arctan(-1)\to x_2=-71.5651°\pm k*180° \end{eqnarray*}$

ok verwirrt

19.05.2009, 17:58

Alex-Peter

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RE: Goniometrie - Gleichung über Quadratische Gleichung lösen?
Winkelberechnungen macht man entweder im Gradmaß, oder im Bogenmaß, (auch als Radiant bezeichnet).

2.
Ein Beispiel, wo mit dem Bogenmaß geschrieben werden muss.

19.05.2009, 19:38

Doppelnull

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Zitat:

Original von riwe
ich verstehe nicht ganz, warum du am ende so bockig bist verwirrt

du hast bis jetzt alles richtig gemacht Freude

(

schuldigung, ich war zeitlich etwas kurz angebunden bei der arbeit Wink

vielen dank für eure erklärungen, jetzt versteh ich es denk ich! werde jetzt noch ein paar aufgaben lösen. Lehrer

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