Beweis mit Untervektorräumen

19.05.2009, 17:26

quiris

Beweis mit Untervektorräumen

Hallo zusammen,

ich habe ein Problem mit meiner Hausaufgabe. Wir haben folgende Aufgabe bekommen:

Sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein K-Vektorraum. Zeigen Sie:

Für alle $\begin{eqnarray*} V_1, V_2, V_3 \leq V \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} (V_1 \cup V_3) + (V_2 \cup V_3) \subseteq (V_1 + V_2) \cup V_3 \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand erklären, wie ich das zeigen kann? Leider steh ich ziemlich auf dem Schlauch.

Vielen Dank!

19.05.2009, 17:47

WebFritzi

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RE: Beweis mit Untervektorräumen

Zitat:

Original von quiris
Kann mir jemand erklären, wie ich das zeigen kann?

Gar nicht, denn die Aussage ist falsch. Als Gegenbeispiel wähle die drei Koordinatenachsen im IR³.

19.05.2009, 19:57

quiris

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Hallo,

zunächst einmal danke an WebFritzi.

Leider habe ich einen groben Fehler beim Aufschreiben gemacht! Es muss so heißen:

$\begin{eqnarray*} (V_1 \cap V_3) + (V_2 \cap V_3) \subseteq (V_1 + V_2) \cap V_3 \end{eqnarray*}$

Sorry! Vielleicht kann mir dazu noch mal jemand etwas schreiben?

Viele Grüße!

Marlon Meuters

19.05.2009, 20:06

WebFritzi

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Diese Mengeninklusion ist nahezu trivial und kann in einer Zeile bewiesen werden. Und zwar so, wie man üblicherweise eine Mengeninklusion beweist. Weißt du, wie das geht? Was wäre dein Ansatz?

19.05.2009, 20:42

quiris

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Also ich hätte jetzt normalerweise jeweils ein Element aus "der Linken Seite" genommen und dann versucht zu zeigen, dass es auch in der "rechten Seite" enthalten ist. Leider tuh ich mich ber sehr schwer mit dieser Addition.

19.05.2009, 21:13

WebFritzi

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Gut. Dann nimm dir doch ein Element aus der linken Seite. Wie kannst du dieses dann darstellen?

19.05.2009, 21:25

quiris

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Ok, also ich hab es so versucht:

$\begin{eqnarray*} a \in (V_1 \cap V_3), b \in (V_2 \cap V_3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \in \{ a+b \} \end{eqnarray*}$

so, was ich noch weiß ist, dass $\begin{eqnarray*} a \in V_1, V_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \in V_2, V_3 \end{eqnarray*}$ .

Ist das soweit richtig? Leider hab ich keine Ahnung, wie ich so auf die "rechte Seite" schließen kann.

19.05.2009, 21:40

WebFritzi

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Zitat:

Original von quiris
$\begin{eqnarray*} c \in \{ a+b \} \end{eqnarray*}$

Was soll denn das bedeuten? Ich sehe nirgends ein Element aus der linken Seite...

19.05.2009, 21:47

quiris

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In meinen Augen müsste c jetzt ein Element der linken Menge sein :-)
$\begin{eqnarray*} c \in \{ a+b \mid a \in (V_1 \cap V_3), b \in (V_2 \cap V_3) \} \end{eqnarray*}$

19.05.2009, 22:09

WebFritzi

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Zitat:

Original von quiris
In meinen Augen müsste c jetzt ein Element der linken Menge sein :-)
$\begin{eqnarray*} c \in \{ a+b \mid a \in (V_1 \cap V_3), b \in (V_2 \cap V_3) \} \end{eqnarray*}$

Das schreibt man aber nicht so, sondern so:

$\begin{eqnarray*} c = a + b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \in V_1 \cap V_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \in V_2 \cap V_3. \end{eqnarray*}$

OK. Und warum liegt c jetzt in $\begin{eqnarray*} V_3? \end{eqnarray*}$

19.05.2009, 22:16

quiris

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Das ist genau mein Problem. Ich weiß nur:
$\begin{eqnarray*} a \in V_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \in V_3 \end{eqnarray*}$

Oder weiß man, dass $\begin{eqnarray*} c \in V_3 \end{eqnarray*}$ weil der Vektorraum bezüglich der Addition abgeschlossen ist?

19.05.2009, 22:24

WebFritzi

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Zitat:

Original von quiris
Das ist genau mein Problem. Ich weiß nur:
$\begin{eqnarray*} a \in V_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \in V_3 \end{eqnarray*}$

Oder weiß man, dass $\begin{eqnarray*} c \in V_3 \end{eqnarray*}$ weil der Vektorraum bezüglich der Addition abgeschlossen ist?

Exakt. Also so:

$\begin{eqnarray*} a,b\in V_3\;\Longrightarrow\;c = a+b\in V_3. \end{eqnarray*}$

EDIT: Ok, und warum ist weiter $\begin{eqnarray*} c\in V_1 + V_2? \end{eqnarray*}$

19.05.2009, 22:40

quiris

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Zitat:

Ok, und warum ist weiter $\begin{eqnarray*} c\in V_1 + V_2? \end{eqnarray*}$

Weil aus $\begin{eqnarray*} a \in (V_1 \cap V_3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \in (V_2 \cap V_3) \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} a \in V_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \in V_2 \end{eqnarray*}$ , oder?
Damit wissen wir dann: $\begin{eqnarray*} c= a+b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \in V_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \in V_2 \end{eqnarray*}$ und daraus folgt $\begin{eqnarray*} c\in V_1 + V_2? \end{eqnarray*}$ .

Damit sind wir doch dann fertig, ne?

20.05.2009, 02:14

WebFritzi

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Genau. Glückwunsch. smile

20.05.2009, 08:18

quiris

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Vielen Dank! Du hast mir sehr weiter geholfen!

VG

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Beweis mit Untervektorräumen

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