Diagonalisierbarkeit einer Matrix |
| 20.05.2009, 19:43 | Max Simon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Diagonalisierbarkeit einer Matrix Gegeben ist die Matrix Wir sollen alle Eigenwerte über und bestimmen und dann A über diesem Vektorraum auf Diagonalisierbarkeit prüfen. A hat folgende Eigenwerte: Die algebraischen Vielfachheiten sind jeweils 1. Dabei ist für natürlich nur die 6 ein Eigenwert. Bilde ich für den Eigenwert 6 den Eigenvektor erhalte ich und nur diesen Vektor. Der aufgespannte Eigenraum hat somit die geometrische Vielfachheit 1, denn seine Dimension ist 1. Weil algebraische und geometrische Vielfachheit übereinstimmen, ist doch A über diagonalisierbar. Andererseits dachte ich, muss es immer n verschiedene Eigenwerte geben. Weil n hier doch 3 ist (3x3-Matrix), ist A nicht diagonalisierbar. Dies kann nicht sein; also hab ich doch noch einige Verständnisprobleme. Welche Gedanken sind falsch? Desweiteren komm ich auch mit den Eigenwerten aus nicht klar. Mir gelingt es nicht, die Eigenvektoren zu berechnen. Der Ansatz ist doch: x ist dann der Eigenvektor. Das folgende homogene Gleichungssystem hat Vollrang und somit existiert nur die triviale Lösung. Doch als Eigenvektor ist der Nullvektor doch nicht zugelassen. Wo ist hier das Problem? Dankeschön. Max |
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| 20.05.2009, 22:14 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Diagonalisierbarkeit einer Matrix DAmit Diagonaisierbar, muss dass CP in Linearfaktoren zerfallen. Das tut es hier bei Q ja nicht. Die GeoV und AlgV müssen dann übereinstimmen. Das ist bei C hier offensichtlich. Also über Q nicht diagonalisierbar. Über C schon. Hier mal ein Beispiel zur Brechnung der Eigenvektoren. Vieleicht klärt sich dann schon was. Wie kommst du auf den vollen Rang? [Artikel] Eigenwerte und Eigenvektoren |
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| 21.05.2009, 01:09 | Max Simon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Diagonalisierbarkeit einer Matrix ja ok, in Q zerfällt das Polynom nicht in Linearfaktoren. Aber trotzdem sind doch algebraische und geometrische Vielfachheit gleich. Und wir haben so einen Satz, der dann sagt, dass A diagonalisierbar ist. Wir haben natürlich auch Sätze, die wegen der anderen Gründe zeigen, dass A nicht diagonalisierbar ist. Also mach ich bei den Vielfachheiten wohl was falsch. Liegt es vlt. daran, dass es hier nur einen der 3 Eigenwerte gibt in Q und deshalb die geometrische Vielfachheit für Lambda_2/3 null ist, während die algebraische Vielfachheit ja 1 ist. Somit stimmt das nicht für alle Eigenwerte überein und A ist nicht diagonalisierbar? Was ich mit dem Rang 3 gerechnet hab, weiß ich auch nicht. Das Gleichungssystem hat Rang 2, es gibt also eine nichttriviale Lösung (mit Parameter), sodass hier wieder algebraische und geometrische Vielfachheit gleich sind für alle Eigenwerte (1). Folglich ist A in C diagonalisierbar. |
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| 21.05.2009, 11:08 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Diagonalisierbarkeit einer Matrix
Das zweifel ich sehr stark an. Das ist nur ein Teil der Bedingungen des Satzes. Poste mir hier mal den genauen Wortlaut deines Satzes. Die andere Bedingungen ist das Zerfallen in Linearfaktoren. Und das klappt über Q nicht. |
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| 21.05.2009, 13:19 | Max Simon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Diagonalisierbarkeit einer Matrix Also der genaue Wortlaut ist: Ein Endomorphismus f ist diagonalisierbar genau dann wenn a) Das char. Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren. b) Für jeden Eigenwert ist die algebraische Vielfachheit gleich. Über Q haben wir ja nur einen Eigenwert und somit hat dieser dieselbe alg. Vielfachheit wie alle Eignewerte. Nach b) ist dann f diagonalisierbar. Wegen a) ist f jedoch nicht diagonalisierbar. Also irgendwie kann an dem Satz was nicht stimmen, oder? |
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| 21.05.2009, 13:42 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Diagonalisierbarkeit einer Matrix lol. Du liest den Satz nur falsch. Es müssen a UND b erfüllt sein, damit Diagonlisierbarkeit vorliegt. |
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| 21.05.2009, 15:14 | Max Simon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Diagonalisierbarkeit einer Matrix
Ok. Danke dir 
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| 22.05.2009, 04:04 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Diagonalisierbarkeit einer Matrix
Außerdem ist dieser Satz falsch. Gegenbeispiel |
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| 22.05.2009, 15:16 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Diagonalisierbarkeit einer Matrix Stimmt. Da fehlt noch "gleich was..." |
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| 23.05.2009, 00:53 | Max Simon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Diagonalisierbarkeit einer Matrix ja, das hab ich mich auch gefragt... entweder er meint,dass jeder Eigenwert dieselbe algebraische Vielfachheit hat, also alle 1 oder alle 2, oder er meint damit den Fakt, dass algebraische und geometrische Vielfachheit gleich sein müssen für jeden Eigenwert. Ich nehm mal eher an, dass hier nur 2. möglich ist. |
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| 23.05.2009, 01:04 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Diagonalisierbarkeit einer Matrix
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