Bild (A) = Kern (C) wobei A,C Matrizen aus K |
21.05.2009, 12:44 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Bild (A) = Kern (C) wobei A,C Matrizen aus K da dies mein erster Beitrag ist, stelle ich mich kurz vor: Ich bin Erstsemester für Mathematik in Aachen und knabber zur zeit (wie so manch anderer in den Beiträgen unter mir ) zur zeit an LA. Hab grad ein Problem bei folgender Aufgabe: Sei K ein Körper und . Zeigen sie, dass eine Matrix existiert mit und Bild (A-Schlange) = Kern (C-Schlange). Ich habe nun gezeigt, dass es eine Matrix gibt mit Außerdem hab ich noch, dass es Allerdings komme ich jetzt hier nicht weiter, wie kann ich zeigen dass Bild (A) = Kern (C)? Oder muss ich da einen ganz anderen Ansatz wählen? |
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21.05.2009, 12:51 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Bild (A) = Kern (C) wobei A,C Matrizen aus K Latex:
Sei K ein Körper und . Zeigen sie, dass eine Matrix existiert mit und . Was sollen sein? |
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21.05.2009, 12:58 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Das sind die zu A, C zugehörigen linearen Abbildungen. Im Prinzip könnte da auch Bild (A) = Kern (C) stehen, die Aufgabe ist halt einfach so gestellt. |
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21.05.2009, 13:41 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Nun könnte A ja aus lauter Nullen bestehen. Damit muss C regulär sein und d=m. So was lässt sich ja konstruieren... Wenn A nun einen Eintrag ungleich 0 hat, so haben wir einen Rang von mind. 1. Wir finden also eine Basis des UVR Bild(A). Die maximale Länge ist m. Es gilt Wir definieren ihn dann hier einfach: Nach Basisergänzungssatz gibt es Vektoren, so dass gilt: (*) Nun muss eben gelten, Wenn ich mir nun die darstellende Matrix anschaue, dann stelle ich die erstmal bzgl. dieser Basis (*) auf. In den Spalten stehen ja die Bilder der Basisvektoren. Mit einem Basiswechsel kann man die dann ja beliebig verändern. So würde ich mir das eben basteln. Also gibt es das auch. |
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21.05.2009, 15:19 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Man kann aber auch die Abbildung gleich konstruieren, indem man den Gauß-Algorithmus benutzt und sich überlegt, was gelten muss, damit ein Gleichungssystem lösbar ist. |
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21.05.2009, 15:31 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Und das funktioniert wie das Beispiel im Skript, Seite 32. |
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22.05.2009, 01:17 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Also, die Aufgabe ist doch recht einfach. Den Fall Bild(A) = {0} haben wir ja schon geklärt. Sei () eine Basis von Bild(A). Diese erweitern wir zu einer Basis von und setzen d := k + 1 sowie wobei der j-te Einheitsvektor des sei. Jetzt ist nur noch zu zeigen, dass die geforderten Eigenschaften besitzt. |
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