Extremwertberechnung |
21.05.2009, 18:32 | MikeMoeller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Extremwertberechnung ich habe folgendes Problem und zwar haben wir in der Schule eine Aufgabe gerechnen und ich habe sie zuHause nochmal gerechnet. Das Ergebniss ist unterschiedich ich bin von meinem Ergebniss allerdings überzeugt und will von euch eine zweite Meinung einholen. Folgende Aufgabe: Es ist eine Fläche von 1200cm² gegeben. Daraus soll ein Zylinder mit nur einem Deckel entstehen! Das Volumen soll maximal sein. V->MAX Gesucht sind r= Radius und h= höhe Mein Ergebniss: r = rund 8 und h = 15.87 Ergebniss der Schule: r = rund 8 h= 49.86 Es wäre super toll, wenn sich eienr die Aufgabe so schnell wie möglich zur Brust nimmt denn ich habe nciht mehr viel zeit udn möchte an dieser Stelle gerne weiter kommen. Mit freundlcihen Grüßen Mike |
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21.05.2009, 20:35 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Extremwertberechnung Warum überprüfst Du es nicht selber? Ich setze ein in die Formel A = 2*Pi*r*h + Pi*r^2 a) r = 8; h = 15,87 ==> A ist 998,.... b) r = 8; h = 49,86 ==> A ist 2707,3 Somit kann die zweite Lösung nicht stimmen..... Und übrigens: Es heißt Ergebnis |
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21.05.2009, 20:42 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Extremwertberechnung
mal einmal her, was du gerchnet hast. ich würde sagen: weder noch wenn ich mit NUR 1 deckel richtig verstehe, das soll doch ein oben offener zylinder sein |
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21.05.2009, 20:44 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Extremwertberechnung
Wie sieht die eigentlich aus? Denn so ist ja nur das "theoretisch" maximale berechenbar... |
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21.05.2009, 20:56 | MacGuffin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe die Aufgabe jetzt auch mal gerechnet zur Übung. habe nun h= (pi*r+pi*r²)/1200 ist das richtig? das habe ich dann in die Gleichung A=pi*r*h+pi*r² eingesetzt. Aber ich komm iwie grad mit dem /1200 durcheinander, wenn ich das ausmultiplizieren will. |
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21.05.2009, 21:24 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bin davon ausgegangen, dass MikeMoeller uns ein paar Informationen vorenthält. Vermutlich gibt es Angaben zur Seitenlänge der Fläche. Das würde dann auch sein Ergebnis erklären, wo ja gut 200 cm^2 Verschnitt anfallen. Ansonsten hätte tigerbine recht, denn wegen des runden Deckels ist ja nur theoretisch eine vollkommene Nutzung der 1200 cm^2 möglich. edit: Wenn man die ganze Fläche restlos nutzen kann, bekommt man die Lösung von riwe heraus. Oder es müsste heißen, man soll einen Zylinder mit einer Oberfläche von 1200 cm^2 und max. Volumen herstellen... Das ist dann aber eine andere Aufgabe... @MacGuffin Du hast die Formel falsch nach h umgestellt... |
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21.05.2009, 21:42 | MacGuffin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich habe gerechnet: 1200=2*pi*r*h+pi*r² | :h 1200/h=2*pi*r+pi*r² | :1200 h= (2*pi*r+pi*r²)/1200 wo ist der fehler? |
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21.05.2009, 21:59 | MikeMoeller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nein es fallen keine schnittreste an oder sonstiges, die 1200 cm² Blech können voll ausgenutzt werden. Wenn ich meine Höhe in die Nebenbedingung eingebe die lautet A=2*pi*r*h+pi*r² bekomme ich die Fläche von 1200 cm² wieder heraus was bestätigt das mein Ergebniss richtig ist. Prüfen wir meinen Radius von 8 in der zweiten Ableitung der Funktion V"(8)= -18.84 r = -150.77 ist -150.77 < 0 ....daraus resultiert ein Hochpunkt. Eine Begründung das das Volumen alo maximal ist oder nicht ? |
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21.05.2009, 21:59 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ McGuffin Zuerst schreibe ich das mal lesbarer, was Du gerechnet hast: Die Fehler sind: 1. Wenn Du durch h teilst, musst Du alle Terme durch h teilen 2. Wenn du 1200/h durch 1200 teilst, kommt nicht h sondern 1/h raus Und die richtige Umformung ist: Es empfiehlt sich für die weiteren Rechnungen, diesen Ausdruck als 2 Brüche zu schreiben.... @ MikeMoeller Du schreibst:
Wie bekommst Du das raus? Ich kriege raus:
Wenn man wirklich die ganzen 1200 cm^2 verbraten kann (unrealistisch, bzw. falsche Formulierung der Aufgabe, aber egal), dann stimmt die Lösung, die riwe vorgeschlagen hat! LG sulo PS: Und "Ergebnis" schreibt man immer noch mit 1s |
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21.05.2009, 22:15 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ MikeMoeller Du schreibst:
Das ist eigentlich keine Begründung, denn da V''(r) = -3*pi*r ist, wird für jedes beliebige r (das zwangsweise positiv ist) ein negativer Wert rauskommen.... Und: V''(r) = -3*pi*r -18.84 r |
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21.05.2009, 22:16 | MikeMoeller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn ich die nebenbedingung zusammensetze muss ich quasi einmal die Fläche eines Kreises mit einbeziehen udn einmal die eines Quadrates. dann ergibt sich die Formel. A=2*pi*r*h+pi*r² umgestellt nach h lautet sie: 1200-pi*r²/2*pi*r=h stimmt das soweit ? |
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21.05.2009, 22:20 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum ein Quadrat? Etwa eine verheimlichte Bedingung? .... Ich denke, Du meinst Rechteck.... Und wenn Du meinen Beitrag weiter oben gelesen hättest, hättest Du gesehen, dass Deine Formel für h stimmt.... |
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21.05.2009, 22:21 | MacGuffin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke suno. Das sind diese Lücken in meinen Mathekopf, die mir immer zum Verhängnis werden |
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21.05.2009, 22:25 | MikeMoeller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also hier mal die komlette Aufgabenstellung: Aus 1200 m² Blech soll ein zylindrischer, oben offener Behälter maximalen Volumens geformt werden. Welche Maße r und h erhält der Zylinder? In der Schule beschreiben die die Mantelfläche des Zylinders mit h und breite 2r ? komsich weil die breite dieser Fläche eigentlich der Umfang des Kreises ist also 2*pi*r das quadrat ist wegen der Flächenberechnung für den kreis ^^ des behälters als Boden oder Deckel ... |
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21.05.2009, 22:39 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm, also doch mit Verschnitt.... Somit kann die Lösung von riwe nicht gelten. Und Deine Nebenbedingung ist auch falsch.... Vielmehr muss dann tatsächlich gelten: A = 2*pi*r*h + (2r)^2 Erster Term ist die Mantelfläche, zweiter Term ist das Quadrat für den Deckel. Habt Ihr das so aufgeschrieben? |
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21.05.2009, 22:44 | MikeMoeller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
NB: A=1200=2*r*h+2*pi*r² so habne wirs aufgeschrieben, udn wenn man die höhe von 50 einsetzt bekommt man sogar 1200 raus....aber ich weiß nciht wie man die breite des quadrates mit 2r beschreiben kann das is komsich finde ich. |
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21.05.2009, 22:53 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
2r ist der Durchmesser des Kreises. Wenn Du ein Quadrat mit kleinstem Flächeninhalt um den Kreis konstruieren willst, muss die Seitenlänge 2r sein. Die letzte Nebenbedingung macht keinen Sinn. Wo ist da das Quadrat? Außerdem schreibst Du dauernd neue Nebenbedingungen auf....
und
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21.05.2009, 22:58 | MikeMoeller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay is nen bissel verwirrend. in der schule haben wir geschrieben. HB: pi*r²*h NB:A=1200=2*r*h+2*pi*r² wir haben ja nur eine Kreisfläche und das was ich immer mit Quadrat meine ist ja die Mantelfläche. |
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21.05.2009, 23:12 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also, dann steig ich da nicht mehr durch: 2*r*h ==>ist das die Mantelfläche des Zylinders? Aber wie kommt man auf diese Formel??? 2*pi*r² ==> das sind 2 Kreisflächen, aber man hat nur 1 Deckel ... Und wo ist das ominöse Quadrat? Sorry, da klink ich mich aus. Ich denke, Ihr habt da Mist aufgeschrieben... (Verzeihung, aber Lehrer machen auch Fehler) Wenn man es mit der NB rechnet, die ich aufgeschrieben habe: A = 2*pi*r*h + (2r)^2 , und die auch Sinn macht, bekommt man folgende Werte raus: r = 10 cm h = 40/pi = 12,7324 cm V = 4000 cm^3 verbrauchte Fläche: 1200cm^2 tatsächlich verwendete Fläche: 1114,16 cm^2 Verschnitt: 85,84 cm^2 edit: Einziger Nachteil: Man kann das nicht aus einem einzigen, rechteckigen Stück Blech herstellen... edit2: Wird aber auch nirgendwo verlangt.... Genug für heute, kannst ja mal drüber grübeln... |
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21.05.2009, 23:17 | MikeMoeller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich weiß auch nicht warum er diese Fläche so beschreibt aber mit einem Radius von 8 und eienr höhe von 50 cm ist die volle Flächen ausnutzung da ! wie auch immer -.- in meienr rechnung habe ich heraus gefunden das bei mir nen Deckel fehlt deswegen kommen unter 1000 cm² raus.... naja was solls dann amch ich heute auch schluss ^^ danke das du dir darüber nen kof zerbrochen hast! |
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21.05.2009, 23:23 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da ist der Mantel alleine schon: 2513,27 cm^2 Ist somit Unsinn von Deinem Lehrer .... edit: Ergibt sich auch durch Nachdenken: Da eine Kugel das optimale Verhältnis von Oberfläche zu Volumen hat, sollte auch unser Zylinder ganz grob einer Kugel ähneln .... |
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26.05.2009, 19:14 | MikeMoeller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
soo, hab jetzt nochmal gerechnet...scheint so als wenn ich das Ergebniss habe ....komsich das es erst jetzt klappt. geg: 1200cm² V>Max HB: V=pi*r²*h NB: 1200=2*pi*r*h+pi*r² 1200=2*pi*r*h+pi*r² | -pi*r² 1200-pi*r² | : 2*pi*r 1200-pi*r²/2*pi*r=h Einsetzen in ZF V(r)=pi*r²*(1200-pi*r²/2*pi*r) |kürzen V(r)=r*(1200-pi*r²/2) | ausmultiplizieren V(r)=1200r-pi*r³/2) V(r)= 600r-pi*r³ erste Ableitung V`(r)=-9.42r²+600 0=-9.42r²+600 |-600 -600=-9.42r² |:-9.42 63.69=r² |Wurzel 8=r in NB einsetzten h=19.9 Wenn man jetzt oben die höhe udn den radius einsetzte bekommt man ne Fläche von 1200.1 cm² oder so raus. Desweiteren hat der Eimer nen Volumen von 4000.1 cm³. Die Probe mit der zweiten Ableitung bestätigt das der Radius ein Hochpunkt ist. ihr könnts ja auch nochmal probieren. lg |
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26.05.2009, 19:54 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hier ist Dir ein Fehler unterlaufen:
Du hättest es besser so geschrieben, dann wäre es nicht passiert: V(r)=r*[(1200-pi*r²)/2] | ausmultiplizieren V(r)=(1200r-pi*r³)/2 V(r)= 600r-0,5*pi*r³ Im Übrigen kommt dann bei Deiner Rechnung das schon altbekannte Ergebnis von riwe raus, d.h., man rechnet ohne jeglichen Verschnitt, was nach dem Text der Aufgabenstellung nicht machbar ist ..... Aber das ist ja nur die schnöde Praxis .... LG sulo |
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26.05.2009, 20:09 | MikeMoeller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also muss ich ebenfalls pi durch 2 teilen ja ? son mist...ich habe ebend ne aufgabe mit dem Gewächshaus berechnet und bin ebend auch bei der dose ins zweifeln gekommen...naja wenn ich damit weiterrechne bekomme ich für r den Wert 11.3 raus udn für die höhe einen Wert von 11.25 beides eingesetzt in die NB ist eine Fläche voin 1200cm² ...^^ O.o |
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26.05.2009, 20:33 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
riwe hat die Werte schon präziser angegeben:
h und r sind in diesem Fall also gleich groß .... |
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26.05.2009, 20:37 | MikeMoeller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also ist das Probem gelöst ja ? erstma nen schluck wasser nehm |
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26.05.2009, 20:44 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gelöst, wenn man die Aufgabe nicht so sieht:
sondern so, wie sie möglicherweise gemeint war: Es soll ein zylindrischer, oben offener Behälter maximalen Volumens geformt werden, der eine (äußere) Oberfläche von 1200 m² hat .... Na denn... |
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