Extremwertberechnung

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MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertberechnung
Hallo,

ich habe folgendes Problem und zwar haben wir in der Schule eine Aufgabe gerechnen und ich habe sie zuHause nochmal gerechnet. Das Ergebniss ist unterschiedich ich bin von meinem Ergebniss allerdings überzeugt und will von euch eine zweite Meinung einholen.

Folgende Aufgabe:

Es ist eine Fläche von 1200cm² gegeben.

Daraus soll ein Zylinder mit nur einem Deckel entstehen!

Das Volumen soll maximal sein. V->MAX

Gesucht sind r= Radius und h= höhe

Mein Ergebniss: r = rund 8 und h = 15.87

Ergebniss der Schule: r = rund 8 h= 49.86

Es wäre super toll, wenn sich eienr die Aufgabe so schnell wie möglich zur Brust nimmt denn ich habe nciht mehr viel zeit udn möchte an dieser Stelle gerne weiter kommen.

Mit freundlcihen Grüßen
Mike
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertberechnung
Warum überprüfst Du es nicht selber? verwirrt

Ich setze ein in die Formel A = 2*Pi*r*h + Pi*r^2

a) r = 8; h = 15,87 ==> A ist 998,....
b) r = 8; h = 49,86 ==> A ist 2707,3

Somit kann die zweite Lösung nicht stimmen.....
Und übrigens: Es heißt Ergebnis smile
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertberechnung
Zitat:
Original von MikeMoeller
Hallo,

ich habe folgendes Problem und zwar haben wir in der Schule eine Aufgabe gerechnen und ich habe sie zuHause nochmal gerechnet. Das Ergebniss ist unterschiedich ich bin von meinem Ergebniss allerdings überzeugt und will von euch eine zweite Meinung einholen.

Folgende Aufgabe:

Es ist eine Fläche von 1200cm² gegeben.

Daraus soll ein Zylinder mit nur einem Deckel entstehen!

Das Volumen soll maximal sein. V->MAX

Gesucht sind r= Radius und h= höhe

Mein Ergebniss: r = rund 8 und h = 15.87

Ergebniss der Schule: r = rund 8 h= 49.86

Es wäre super toll, wenn sich eienr die Aufgabe so schnell wie möglich zur Brust nimmt denn ich habe nciht mehr viel zeit udn möchte an dieser Stelle gerne weiter kommen.

Mit freundlcihen Grüßen
Mike


mal einmal her, was du gerchnet hast.
ich würde sagen: weder noch
wenn ich mit NUR 1 deckel richtig verstehe,
das soll doch ein oben offener zylinder sein verwirrt

verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertberechnung
Zitat:
Es ist eine Fläche von 1200cm² gegeben.


Wie sieht die eigentlich aus? Denn so ist ja nur das "theoretisch" maximale berechenbar...
MacGuffin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Aufgabe jetzt auch mal gerechnet zur Übung.

habe nun

h= (pi*r+pi*r²)/1200

ist das richtig?

das habe ich dann in die Gleichung

A=pi*r*h+pi*r²

eingesetzt.

Aber ich komm iwie grad mit dem /1200 durcheinander, wenn ich das ausmultiplizieren will.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin davon ausgegangen, dass MikeMoeller uns ein paar Informationen vorenthält.
Vermutlich gibt es Angaben zur Seitenlänge der Fläche.
Das würde dann auch sein Ergebnis erklären, wo ja gut 200 cm^2 Verschnitt anfallen.

Ansonsten hätte tigerbine recht, denn wegen des runden Deckels ist ja nur theoretisch eine vollkommene Nutzung der 1200 cm^2 möglich.
edit: Wenn man die ganze Fläche restlos nutzen kann, bekommt man die Lösung von riwe heraus. smile

Oder es müsste heißen, man soll einen Zylinder mit einer Oberfläche von 1200 cm^2 und max. Volumen herstellen... Das ist dann aber eine andere Aufgabe...


@MacGuffin

Du hast die Formel falsch nach h umgestellt...
 
 
MacGuffin Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe gerechnet:

1200=2*pi*r*h+pi*r² | :h

1200/h=2*pi*r+pi*r² | :1200

h= (2*pi*r+pi*r²)/1200

wo ist der fehler?
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

nein es fallen keine schnittreste an oder sonstiges, die 1200 cm² Blech können voll ausgenutzt werden.


Wenn ich meine Höhe in die Nebenbedingung eingebe die lautet

A=2*pi*r*h+pi*r²

bekomme ich die Fläche von 1200 cm² wieder heraus was bestätigt das mein Ergebniss richtig ist.

Prüfen wir meinen Radius von 8 in der zweiten Ableitung der Funktion

V"(8)= -18.84 r = -150.77

ist -150.77 < 0 ....daraus resultiert ein Hochpunkt.

Eine Begründung das das Volumen alo maximal ist oder nicht ?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

@ McGuffin
Zuerst schreibe ich das mal lesbarer, was Du gerechnet hast:








Die Fehler sind:
1. Wenn Du durch h teilst, musst Du alle Terme durch h teilen
2. Wenn du 1200/h durch 1200 teilst, kommt nicht h sondern 1/h raus


Und die richtige Umformung ist:







Es empfiehlt sich für die weiteren Rechnungen, diesen Ausdruck als 2 Brüche zu schreiben....

@ MikeMoeller
Du schreibst:

Zitat:
Wenn ich meine Höhe in die Nebenbedingung eingebe die lautet

A=2*pi*r*h+pi*r²

bekomme ich die Fläche von 1200 cm² wieder heraus was bestätigt das mein Ergebniss richtig ist.

Wie bekommst Du das raus? Ich kriege raus:

Zitat:
r = 8; h = 15,87 ==> A ist 998,....


Wenn man wirklich die ganzen 1200 cm^2 verbraten kann (unrealistisch, bzw. falsche Formulierung der Aufgabe, aber egal), dann stimmt die Lösung, die riwe vorgeschlagen hat!

LG sulo


PS: Und "Ergebnis" schreibt man immer noch mit 1s
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

@ MikeMoeller

Du schreibst:

Zitat:
Prüfen wir meinen Radius von 8 in der zweiten Ableitung der Funktion

V"(8)= -18.84 r = -150.77

ist -150.77 < 0 ....daraus resultiert ein Hochpunkt.

Eine Begründung das das Volumen alo maximal ist oder nicht ?

Das ist eigentlich keine Begründung, denn da V''(r) = -3*pi*r ist, wird für jedes beliebige r (das zwangsweise positiv ist) ein negativer Wert rauskommen....Augenzwinkern

Und: V''(r) = -3*pi*r -18.84 r verwirrt
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich die nebenbedingung zusammensetze muss ich quasi einmal die Fläche eines Kreises mit einbeziehen udn einmal die eines Quadrates.

dann ergibt sich die Formel.

A=2*pi*r*h+pi*r²

umgestellt nach h lautet sie:

1200-pi*r²/2*pi*r=h

stimmt das soweit ?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Warum ein Quadrat? Etwa eine verheimlichte Bedingung? .... Big Laugh
Ich denke, Du meinst Rechteck....
Und wenn Du meinen Beitrag weiter oben gelesen hättest, hättest Du gesehen, dass Deine Formel für h stimmt.... Freude
MacGuffin Auf diesen Beitrag antworten »

Danke suno.

Das sind diese Lücken in meinen Mathekopf, die mir immer zum Verhängnis werden unglücklich
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

also hier mal die komlette Aufgabenstellung:

Aus 1200 m² Blech soll ein zylindrischer, oben offener Behälter maximalen Volumens geformt werden. Welche Maße r und h erhält der Zylinder?


In der Schule beschreiben die die Mantelfläche des Zylinders mit h und breite 2r ? komsich weil die breite dieser Fläche eigentlich der Umfang des Kreises ist also 2*pi*r

das quadrat ist wegen der Flächenberechnung für den kreis ^^ des behälters als Boden oder Deckel ...
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
das quadrat ist wegen der Flächenberechnung für den kreis ^^ des behälters als Boden oder Deckel ...

Hmm, also doch mit Verschnitt.... unglücklich
Somit kann die Lösung von riwe nicht gelten.
Und Deine Nebenbedingung ist auch falsch....

Vielmehr muss dann tatsächlich gelten: A = 2*pi*r*h + (2r)^2

Erster Term ist die Mantelfläche, zweiter Term ist das Quadrat für den Deckel.
Habt Ihr das so aufgeschrieben?
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

NB: A=1200=2*r*h+2*pi*r²

so habne wirs aufgeschrieben, udn wenn man die höhe von 50 einsetzt bekommt man sogar 1200 raus....aber ich weiß nciht wie man die breite des quadrates mit 2r beschreiben kann das is komsich finde ich.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

2r ist der Durchmesser des Kreises. Wenn Du ein Quadrat mit kleinstem Flächeninhalt um den Kreis konstruieren willst, muss die Seitenlänge 2r sein.

Die letzte Nebenbedingung macht keinen Sinn.
Wo ist da das Quadrat?
Außerdem schreibst Du dauernd neue Nebenbedingungen auf.... unglücklich

Zitat:
NB: A=1200=2*r*h+2*pi*r²

so habne wirs aufgeschrieben


und

Zitat:
dann ergibt sich die Formel.

A=2*pi*r*h+pi*r²
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

okay is nen bissel verwirrend.

in der schule haben wir geschrieben.

HB: pi*r²*h

NB:A=1200=2*r*h+2*pi*r²

wir haben ja nur eine Kreisfläche und das was ich immer mit Quadrat meine ist ja die Mantelfläche.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Also, dann steig ich da nicht mehr durch:
2*r*h ==>ist das die Mantelfläche des Zylinders? Aber wie kommt man auf diese Formel??? verwirrt
2*pi*r² ==> das sind 2 Kreisflächen, aber man hat nur 1 Deckel ... verwirrt
Und wo ist das ominöse Quadrat? verwirrt

Sorry, da klink ich mich aus.
Ich denke, Ihr habt da Mist aufgeschrieben... (Verzeihung, aber Lehrer machen auch Fehler)

Wenn man es mit der NB rechnet, die ich aufgeschrieben habe: A = 2*pi*r*h + (2r)^2 , und die auch Sinn macht, bekommt man folgende Werte raus:

r = 10 cm
h = 40/pi = 12,7324 cm
V = 4000 cm^3

verbrauchte Fläche: 1200cm^2
tatsächlich verwendete Fläche: 1114,16 cm^2
Verschnitt: 85,84 cm^2

edit: Einziger Nachteil: Man kann das nicht aus einem einzigen, rechteckigen Stück Blech herstellen...
edit2: Wird aber auch nirgendwo verlangt....

Genug für heute, kannst ja mal drüber grübeln...
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß auch nicht warum er diese Fläche so beschreibt aber mit einem Radius von 8 und eienr höhe von 50 cm ist die volle Flächen ausnutzung da ! wie auch immer -.-


in meienr rechnung habe ich heraus gefunden das bei mir nen Deckel fehlt deswegen kommen unter 1000 cm² raus....

naja was solls dann amch ich heute auch schluss ^^

danke das du dir darüber nen kof zerbrochen hast!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
mit einem Radius von 8 und eienr höhe von 50 cm ist die volle Flächen ausnutzung da

Da ist der Mantel alleine schon: 2513,27 cm^2

Ist somit Unsinn von Deinem Lehrer .... Big Laugh

edit: Ergibt sich auch durch Nachdenken: Da eine Kugel das optimale Verhältnis von Oberfläche zu Volumen hat, sollte auch unser Zylinder ganz grob einer Kugel ähneln .... Augenzwinkern
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

soo, hab jetzt nochmal gerechnet...scheint so als wenn ich das Ergebniss habe ....komsich das es erst jetzt klappt.


geg: 1200cm²

V>Max

HB: V=pi*r²*h


NB: 1200=2*pi*r*h+pi*r²

1200=2*pi*r*h+pi*r² | -pi*r²

1200-pi*r² | : 2*pi*r

1200-pi*r²/2*pi*r=h


Einsetzen in ZF

V(r)=pi*r²*(1200-pi*r²/2*pi*r) |kürzen

V(r)=r*(1200-pi*r²/2) | ausmultiplizieren

V(r)=1200r-pi*r³/2)

V(r)= 600r-pi*r³

erste Ableitung

V`(r)=-9.42r²+600

0=-9.42r²+600 |-600
-600=-9.42r² |:-9.42
63.69=r² |Wurzel
8=r

in NB einsetzten h=19.9

Wenn man jetzt oben die höhe udn den radius einsetzte bekommt man ne Fläche von 1200.1 cm² oder so raus. Desweiteren hat der Eimer nen Volumen von 4000.1 cm³.

Die Probe mit der zweiten Ableitung bestätigt das der Radius ein Hochpunkt ist.


ihr könnts ja auch nochmal probieren.

lg
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist Dir ein Fehler unterlaufen:
Zitat:

V(r)=r*(1200-pi*r²/2) | ausmultiplizieren

V(r)=1200r-pi*r³/2)

V(r)= 600r-pi*r³



Du hättest es besser so geschrieben, dann wäre es nicht passiert:

V(r)=r*[(1200-pi*r²)/2] | ausmultiplizieren

V(r)=(1200r-pi*r³)/2

V(r)= 600r-0,5*pi*r³

Im Übrigen kommt dann bei Deiner Rechnung das schon altbekannte Ergebnis von riwe raus, d.h., man rechnet ohne jeglichen Verschnitt, was nach dem Text der Aufgabenstellung nicht machbar ist ..... Aber das ist ja nur die schnöde Praxis ....Augenzwinkern

LG sulo
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

also muss ich ebenfalls pi durch 2 teilen ja ?


son mist...ich habe ebend ne aufgabe mit dem Gewächshaus berechnet und bin ebend auch bei der dose ins zweifeln gekommen...naja


wenn ich damit weiterrechne bekomme ich für r den Wert 11.3 raus udn für die höhe einen Wert von 11.25


beides eingesetzt in die NB ist eine Fläche voin 1200cm²

...^^ O.o
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

riwe hat die Werte schon präziser angegeben: Augenzwinkern

Zitat:



h und r sind in diesem Fall also gleich groß .... smile
MikeMoeller Auf diesen Beitrag antworten »

also ist das Probem gelöst ja ? Big Laugh

erstma nen schluck wasser nehm Prost
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Gelöst, wenn man die Aufgabe nicht so sieht:

Zitat:
Aus 1200 m² Blech soll ein zylindrischer, oben offener Behälter maximalen Volumens geformt werden. Welche Maße r und h erhält der Zylinder?

sondern so, wie sie möglicherweise gemeint war:

Es soll ein zylindrischer, oben offener Behälter maximalen Volumens geformt werden, der eine (äußere) Oberfläche von 1200 m² hat ....

Na denn... Wink
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