Lie Algebra

22.05.2009, 15:23

heldvomerdbeerfeld

Lie Algebra

Hallo ihr lieben,

wir haben eine Liealgebra (bzgl. Lieklammer [A,B] := AB - BA]) gegeben, mit A^t=-A, A sei 3 x 3 Matrix

Ziel ist es, eine geeignete Basis, sowie die Strukturkonstanten zu bestimmen.

für A haben wir uns also überlegt:

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & a_{13} \\ -a_{12} & 0 & a_{23} \\ -a_{13} & -a_{23} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

haben uns für die Basismatrizen $\begin{eqnarray*} e_{12}, e_{13}, e_{23} \end{eqnarray*}$ folgendes überlegt:

$\begin{eqnarray*} e_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_{13} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_{23} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist dies schonmal die richtige Basis? Und wie berechnet man die Strukturkonstanten?

Tausend Dank!

22.05.2009, 19:42

heldvomerdbeerfeld

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RE: Lie Algebra
ist es richtig wenn wir
f(e_ij) = A * e_ij - e_ij * A
machen?
dann würden wir wieder drei Matrizen bekommen und dann diese bzgl der Stdbasis darstellen?

22.05.2009, 22:38

kaguya_hime

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RE: Lie Algebra
Die Basis stimmt. Die Bezeichnung der Basisvektoren ist allerdings etwas ungeschickt, ich nenne sie mal einfach
$\begin{eqnarray*} e_1,e_2,e_3 \end{eqnarray*}$ .
Die Strukturkonstanten $\begin{eqnarray*} b_{ijk} \end{eqnarray*}$ sind dann definert durch $\begin{eqnarray*} [e_i,e_j] = \sum_{k=1}^3 b_{ijk} e_k \end{eqnarray*}$ .
Also einfach die Lieklammern der Basisvektoren bestimmen und wieder in der Basis ausdrücken.

23.05.2009, 10:37

heldvomerdbeerfeld

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RE: Lie Algebra
berechne ich die Lieklammern so?

$\begin{eqnarray*} f(e_{ij}) = A * e_{ij} - e_{ij} * A \end{eqnarray*}$

23.05.2009, 12:31

kaguya_hime

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RE: Lie Algebra
Ja, das ist die Lieklammer $\begin{eqnarray*} [A,e_{ij}] \end{eqnarray*}$ .

23.05.2009, 14:39

heldvomerdbeerfeld

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RE: Lie Algebra
ok dann haben wir folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} f(e_{12})=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -a_{23} \\ 0 & 0 & a_{13} \\ a_{23} & -a_{13} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(e_{13})=\begin{pmatrix} 0 & a_{23} & 0 \\ -a_{23} & 0 & -a_{12} \\ 0 & a_{12} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(e_{23})=\begin{pmatrix} 0 & -a_{13} & a_{12}\\ a_{13} & 0 & 0 \\ -a_{12} & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich denn nun die Strukturkonstanten bestimmen?

23.05.2009, 15:24

heldvomerdbeerfeld

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RE: Lie Algebra
Die Strukturkonstanten $\begin{eqnarray*} b_{ijk} \end{eqnarray*}$ sind doch $\begin{eqnarray*} [e_i,e_j] = \sum_{k=1}^3 b_{ijk} e_k \end{eqnarray*}$ .

wenn ich da $\begin{eqnarray*} e_1 , e_2 \end{eqnarray*}$ einsetze bekomm ich doch dann: $\begin{eqnarray*} a_{12}*e_1 + (a_{12})^2*e_2 + (a_{12})^3 * e_3 \end{eqnarray*}$ oder denken wir da falsch?

24.05.2009, 19:21

heldvomerdbeerfeld

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RE: Lie Algebra
kann sich bitte nochmal jmd der aufgabe annehmen?
wir kommen einfach nicht weiter.
und ne allgemeine frage, strukturkonstanten sind matrizen,oder?!

24.05.2009, 23:16

kaguya_hime

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RE: Lie Algebra
Nein, die Strukturkonstanten bilden keine Matrix. Wir führen Euch mal kurz eine Beispielrechnung aus. Erstmal benennen wir $\begin{eqnarray*} X_1=e_{23}, \quad X_2 = e_{13} \quad X_3=e_{12} \end{eqnarray*}$ , weil sonst die Strukturkonstanten 6 Indizes statt dreien bekommen. Nun ist
$\begin{eqnarray*} [X_1,X_2]= 0 \cdot X_1 + 0 X_2+ 1\cdot X_3<br /> \end{eqnarray*}$
Damit haben wir die Strukturkonstanten
$\begin{eqnarray*} <br /> b_{121}=0 \quad b_{122}=0 \quad b_{123}=1<br /> \end{eqnarray*}$
bestimmt.

24.05.2009, 23:38

heldvomerdbeerfeld

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RE: Lie Algebra
also das hier

Zitat:

Original von kaguya_hime

$\begin{eqnarray*} [X_1,X_2]= 0 \cdot X_1 + 0 X_2+ 1\cdot X_3<br /> \end{eqnarray*}$

versteh ich nicht.

Ich dachte die Lieklammern seien folgendermaßen definiert:

$\begin{eqnarray*} [X_1,X_2]=X_1*X_2-X_2*X_1 \end{eqnarray*}$ ????

24.05.2009, 23:51

heldvomerdbeerfeld

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RE: Lie Algebra
ah ok vergiss es ich weiss jetzt was du meinst, vielen vieln dank ich glaub wir hams jetzt smile