Operationen auf Gruppen

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22.05.2009, 21:16	freakyhans	Auf diesen Beitrag antworten »
Operationen auf Gruppen Hi, ich habe ein großes Problem, ich bin nicht in der Lage diese Aufgabe zu lösen, ich wäre wirklich sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte. Aufgabe: Auf der Menge M = {(a,b,c)\|a,b,c € Q, ac != 0 } sei eine Operation o wie folgt definiert: (a1,b1,c1) o (a2,b2,c2) = (a1a2,a1b2 + b1c2,c1c2) Untersuchen Sie, ob (M,o) eine Gruppe bildet. Ich weiss man muss zeigen, dass a) Abgeschlossenheit b) Assozitivität c) Existenz Neutrales Element d) Existenz Inverses Aber wie gehe ich jetzt konkret ran?? ich wäre wirklich dankbar für Hilfe Ich verstehe nicht mal dieses "ist wie folgt definiert" : (a1a2,a1b2 + b1c2,c1c2) was ist das?? 1000x Dank im Voraus für die Hilfe! MfG Hans
22.05.2009, 21:37	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Deine Menge M besteht aus Tupeln mit Einträgen aus Q mit der zusätzlichen Bedingung $\begin{eqnarray} ac \neq 0 \end{eqnarray}$ . Die Verknüpfung $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ ist nun wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} \circ~:~M\times M \rightarrow M,~(a,b,c)\circ (x,y,z) \mapsto (ax,ay+bz,cz) \end{eqnarray}$ . Ein Beispiel: $\begin{eqnarray} (1,2,3)\circ (2,3,4)=(2,11,12) \end{eqnarray}$ (Ich hoffe ich habe das jetzt richtig gerechnet, es ist etwas unübersichtlich). So, nun musst du allgemein zeigen, dass die Verknüpfung auf M abgeschlossen ist. Also zeige $\begin{eqnarray} x,y\in M \Rightarrow x \circ y \in M \end{eqnarray}$ . Ähnlich musst du allgemein die Assoziativität zeigen. Schaffst du das erstmal?
23.05.2009, 20:03	freakyhans	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Danke für deine Antwort. dieses "ist definiert" als, habe ich Dank deinem einleuchtenden Beispiel endlich kapiert. Es wäre echt super von Dir, wenn du auf ähnlich verständliche weise mir sagen könntest wie man die geforderten Gruppenaxiome prüft und somit beweist. Danke!!!
23.05.2009, 22:49	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, na schön, gucken wir uns mal das erste an: Seien $\begin{eqnarray} (a,b,c) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (d,e,f) \end{eqnarray}$ in M, d.h. $\begin{eqnarray} a,b,c,d,e,f \in \mathbb{Q},~a,c,d,f \neq 0 \end{eqnarray}$ . Nun ist $\begin{eqnarray} (a,b,c)\circ(d,e,f)=(ad,ae+bf,cf) \end{eqnarray}$ . Da nun $\begin{eqnarray} a,b,c,d,e,f \in \mathbb{Q},~a,c,d,f \neq 0 \end{eqnarray}$ gilt, folgt damit sofort, dass $\begin{eqnarray} (ad,ae+bf,cf) \end{eqnarray}$ ebenfalls nur Einträge aus $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ enthält und dass $\begin{eqnarray} ad,cf \neq 0 \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} (a,b,c)\circ(d,e,f)\in M \end{eqnarray}$ . Somit führt diese Verknüpfung nicht aus der Menge M heraus und wir haben die Abgeschlossenheit gezeigt. Auf ähnlich abstrakte Weise kann man die anderen Gruppenaxiome überprüfen.
24.05.2009, 12:44	freakyhans	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für deine Antwort. Leider verstehe ich sie nicht. 1. Warum a,c,d,f != 0 ? 2. und warum folgt daraus sofort, dass (ad,ae+bf,cf) nur einträge aus Q enthalten kann?? ich kapiers einfach nicht
24.05.2009, 13:46	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1: Die Menge M enthält alle Tupel (x,y,z) wo x und z ungleich Null sind. Sind (a,b,c) und (d,e,f) aus M ist folglich a,c,d,f ungleich Null. Damit ist dann auch ad und cf ungleich Null. Zu 2: Das liegt einfach daran, dass $\begin{eqnarray} (\mathbb{Q},+,\cdot) \end{eqnarray}$ ein Körper ist. Das heißt Q ist abgeschlossen bzgl. Addition und Multiplikation.
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24.05.2009, 14:25	freakyhans	Auf diesen Beitrag antworten »
hi! danke langsam kapiere ich es! 1000x Dank. Wie kann man die Assoziativität zeigen? Meine Überlegung wäre es: wenn es definiert ist als (a,b,c) o (d,e,f) = (ad,ae+bf,cf) . Also wir haben 3-er Tupel. (2,11,12) ... Assoziativität heißt ich kann die Klammern setzen wie ich will, das Ergebnis bleibt das gleiche. Aber ehrlich gesagt verstehe ich nicht warum ich Assoziativität zeigen muss, wenn ich unter Abgeschlossenheit schon zum Schluss gekommen bin dass es ein Körper ist?? Aber nochmal zurück zum Beweis: eigentlich gehts dorch nur darum dass man ae und bf vertauschen kann also, dass (ad,ae+bf,cf) = (ad,bf+ae,cf) ?? 1000x danke nochmal für deine hilfe
24.05.2009, 14:37	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest unbedingt noch mal nachlesen, was ein Tupel ist, was Assoziativität und was Kommutativität ist. Und dass $\begin{eqnarray} (\mathbb{Q},+,\cdot) \end{eqnarray}$ ein Körper ist, hat nichts damit zu tun, dass oder dass nicht $\begin{eqnarray} (M,\circ) \end{eqnarray}$ eine Gruppe ist.
24.05.2009, 14:39	freakyhans	Auf diesen Beitrag antworten »
diese nichtssagende antwort hat leider nicht geholfen
25.05.2009, 15:41	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Assoziativität: Zeige für beliebige Elemente $\begin{eqnarray} \alpha ,\beta ,\gamma\in M \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} \alpha\circ (\beta\circ\gamma)=(\alpha\circ \beta)\circ\gamma \end{eqnarray}$ ist. Jetzt setzt man an: $\begin{eqnarray} \alpha=(a,b,c) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \beta=(d,e,f) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \gamma=(g,h,i) \end{eqnarray}$ und rechnet das nach. Das steht genau so in der Definition einer Gruppe und ich frage mich, wo das Problem ist, diesen Ansatz zu finden. Zur Not liest man eben noch mal nach, wie jester Dir bereits nahegelgt hat. Gruß, Reksilat.

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