Basis eines Kerns

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24.05.2009, 14:07	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis eines Kerns Hallo zusammen. Sei $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{9}:=\mathbb{F}_{3}[X]/(X^{2}+1)\mathbb{F}_{3}[X] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha=X+(X^{2}+1)\mathbb{F}_{3}[X] \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix}\alpha&\alpha+1&1&-1\\1&0&-1&\alpha\\\alpha+1&\alpha+1&0&\alpha-1\end{pmatrix}\in\mathbb{F}_{9}^{3\times 4} \end{eqnarray}$ Aufgabe: Bestimmen Sie Basen von $\begin{eqnarray} \operatorname{Bild}(\tilde{A}),\ker(\tilde{A}),\mathbb{F}_{9}^{3\times 1}/\operatorname{Bild}(\tilde{A})~\text{und}~\mathbb{F}_{9}^{4\times 1}/\ker(\tilde{A}) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \tilde{A} \end{eqnarray}$ für die von der Matrix A induzierte lineare Abbildung steht. So, die Basis des Bildes habe ich problemlos bestimmt. Dann habe ich das LGS Ax=0 gelöst und somit folgendes bestimmt: $\begin{eqnarray} \ker(\tilde{A})=\left\{ \begin{pmatrix}2\alpha s+r\\2r\\r\\s\end{pmatrix}~\|~r,s\in \mathbb{F}_{9}\right\} \end{eqnarray}$ . Nun meine Frage: Wie kann ich daraus die Basis des Kerns bestimmen? Mir ist klar, dass der Kern aus den in der Menge angegebenen Vektoren besteht und dass ein maximal linear unabhängiges System von denen meine Basis ist, aber ich habe ja zwei Parameter, die jeder 9 Elemente aus meinem Körper annehmen können. Die kann ich ja nicht alle auf lineare Unabhängigkeit untersuchen. Also wie kann ich das geschickt anstellen?
24.05.2009, 17:28	Klappergrasmuecke	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis eines Kerns Das hier wäre dann doch ein Erzeugendensystem für den Kern: $\begin{eqnarray} < \begin{pmatrix}1\\2\\1\\0\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}2\alpha\\0\\0\\1\end{pmatrix}> \end{eqnarray}$ oder? Und die Dinger sind doch linear unabhängig, oder? Und ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist eine Basis. Also wäre das dann doch eine Basis, oder nicht? Ich kenn mich ehrlich gesagt nicht so aus, ist vielleicht auch voll der Quatsch...
24.05.2009, 17:42	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh stimmt. So kann man das ja ganz einfach machen. Danke!
24.05.2009, 18:01	Klappergrasmuecke	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Ding. Vielleicht kannst du mir ja auch helfen Ich bekomm nämlich nen anderen Kern raus :/ Also mein Kern sieht aus wie deiner, nur mit r=0... Ich hab erstmal ganz allgemein (a,b,c)^tr als rechte Seite neben die Matrix A geschrieben und dann fröhlich losgegaußt. Irgendwann hab ich dann noch ne Zeile (und somit einen Parameter d) hinzugefügt, damit ich links die I_4 kriege. Wenn ich dann für den Kern a=b=c=0 setze, hängt mein Kern nur noch von diesem Parameter d ab. Was hab ich falsch gemacht?
24.05.2009, 18:12	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es um den Kern geht, darfst du die Matrix nicht transponieren. Das wird wohl der Fehler sein. Für den Kern löst du einfach Ax=0 nach x auf. Das Transponieren kommt beim Bild ins Spiel, weil das Bild eine Linearkombination der Spalten von A ist. Willst du diese jetzt umformen, musst du entweder Spaltenumformungen machen, oder - wie du es gewohnt bist - Zeilenumformungen nachdem du tarnsponiert hast.
24.05.2009, 18:55	Klappergrasmuecke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaub das is n Missverständnis. Ich hab nix transponiert, ich hab einfach (a,b,c)^tr statt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ geschrieben, weil ich ein bisschen faul bin. Das wollte ich als rechte Seite dran schreiben, aber das nutzt nix um das Bild zu bestimmen, es sei denn man kann Nullzeilen erzeugen. War also quak von mir. Also will ich jetzt mal für den Kern Ax=0 lösen. Dann schreib ich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als rechte Seite an die Matrix und versuche links die Einheitsmatrix zu erzeugen. Irgendwann hab ich dann sowas stehen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1&0&0&\alpha&\|0 \\ 0&1&0&0&\|0 \\ 0&0&1&0&\|0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann führ ich noch nen Parameter ein um das alpha oben links rauszuhauen und hab am Ende nicht denselben Kern wie du... :/ Hab ich mich verrechnet oder wo lieg ich falsch?
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24.05.2009, 19:17	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, verstehe. Allerdings habe ich schon nach zwei Schritten zwei gleiche Zeilen: 1. Schritt: 1. und 2. Zeile vertauschen: 2. Schritt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\begin{array}{cccc\|c}<br /> 1&0&2&\alpha&0\\<br /> \alpha&\alpha+1&1&2&0\\<br /> \alpha+1&\alpha+1&0&\alpha+2&0\end{array}\end{pmatrix} \stackrel{A(2,1,2\alpha),A(3,1,2\alpha+2)}{\hookrightarrow} \end{eqnarray}$ Ergibt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\begin{array}{cccc\|c}<br /> 1&0&2&\alpha&0\\<br /> 0&\alpha+1&\alpha+1&0&0\\<br /> 0&\alpha+1&\alpha+1&0&0\\\end{array}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also hat man da schon eine Nullzeile und muss zwei Parameter einfügen.
24.05.2009, 20:18	Klappergrasmuecke	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, danke! hatte mich wohl verrechnet Wenn ich jetzt das Bild errechnen will, was muss ich da genau machen? Also ich nehme A^tr schreibe als rechte Seite $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}a\\b\\c\\d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dran und gauße bis ich irgendwann ne Nullzeile bekomme. Dann sag ich, dass das was rechts von der Nullzeile steht Null ergeben muss. Also wenn ich mich nicht verrechnet habe (was gut sein kann -.-) $\begin{eqnarray} d=c+2b+2 \alpha b \end{eqnarray}$ . Dann ist das Bild von A^tr also $\begin{eqnarray} \{ \begin{pmatrix}a\\b\\c\\ c+2b+2 \alpha b\end{pmatrix} \| a,b,c \in \mathbb{F}_9\} \end{eqnarray}$ Stimmt das bisher?
24.05.2009, 20:54	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Gegenprobe: Multipliziere einen beliebigen Vektor mit A und merke: Sein Bild ist nur ein "dreifaches Tupel". Du musst folgendermaßen vorgehen: A transponieren und ohne etwas dranzuschreiben auf Zeilenstufenform bringen. Alle linear unabhängigen Zeilenvektoren sind dann deine Basis.
24.05.2009, 21:04	Klappergrasmuecke	Auf diesen Beitrag antworten »
ja aber ich hatte ja jetzt erstmal nur das Bild von A^tr gebildet... naja egal Also wenn ich A^tr auf Zeilenstufenform bringe hab ich das $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&0&0&\alpha \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also was ich dann gemacht hab ist die Zeilen von A^tr miteinander linearzukombinieren. Das bedeutet ich hab die Spalten von A miteinander linearkombiniert, also wäre dann $\begin{eqnarray} <\begin{pmatrix}1\\0\\0\\ \alpha \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\0\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\1\\ 0 \end{pmatrix}> \end{eqnarray}$ meine Basis?
24.05.2009, 21:14	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Neee. Die Bilder und die Basis des Bildes kommen aus (leben in ) $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{9}^{3\times 1} \end{eqnarray}$ . Ich kopier dir mal meine Schritte aus meiner Lösung: $\begin{eqnarray} A^{tr}=\begin{pmatrix}<br /> \alpha & 1 & \alpha+1\\<br /> \alpha +1&0&\alpha+1\\<br /> 1&2&0\\<br /> 2&\alpha&\alpha+2\end{pmatrix} \stackrel{V(1,3)}{\hookrightarrow} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}<br /> 1&2&0\\<br /> \alpha +1&0&\alpha+1\\<br /> \alpha & 1 & \alpha+1\\<br /> 2&\alpha&\alpha+2\end{pmatrix} \stackrel{A(2,1,2\alpha+2),A(3,1,2\alpha),A(4,1,1)}{\hookrightarrow} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}<br /> 1&2&0\\<br /> 0&\alpha+1&\alpha+1\\<br /> 0&\alpha+1&\alpha+1\\<br /> 0&\alpha+2&\alpha+2\end{pmatrix} \stackrel{A(3,2,2),A(4,2,2\alpha),M(2,(\alpha+1)^{-1})}{\hookrightarrow} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}<br /> 1&2&0\\<br /> 0&1&1\\<br /> 0&0&0\\<br /> 0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} \operatorname{Basis}(\operatorname{Bild}(\tilde{A}))=\left(\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix}\right) \end{eqnarray}$ . Ich hoffe das hilft dir weiter.
24.05.2009, 21:27	Klappergrasmuecke	Auf diesen Beitrag antworten »
aaah, ok. wie ich auf den mist aus meinem letzten post gekommen bin raff ich gerade nicht mal mehr Ok ich glaub ich habs jetzt verstanden. Die Begründung warum man das so machen kann, war doch, dass das linearkombinieren der zeilen von A^tr beim gaußen dasselbe ist wie eine Linearkombination der Spalten von A. Dabei erzeugt man zwei Nullspalten, die kann man also für die Basis von Bild(A) weglassen. Hab ich das so richtig verstanden? Erstmal noch ein dickes Dankeschön für deine Mühe
24.05.2009, 21:29	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo, stimmt so.

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