Kern, Bild, Dim (mal wieder)

25.05.2009, 21:31

cy-ba

Kern, Bild, Dim (mal wieder)

Hallo Zusammen,

da sitz ich jetzt schon ewig vorm PC und den Büchern und komme nicht weiter.

Hab hier ne Aufgabe die mich an den Rand der Verzweiflung bringt.

Die reelle 3x4 Matrix $\begin{eqnarray*} A := \begin{vmatrix} -2 & 5 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ -2 & 5 & 3 & -2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ kann als Abbildung von R^4 nach R^3 angesehen werden.
$\begin{eqnarray*} A: \bigg\{ \begin{array}{ll} R^4 \rightarrow R^3 \\ \vec{x} \mapsto A\vec{x} \end{array} \end{eqnarray*}$

Ich soll nun sagen welche Dimension Kern(A) und Bild(A) hat. Da fängt's schon zu schaudern an. Ich bekomme nicht in den Kopf was der Kern ist. Zumal ich schon nicht verstehe wie man diese Abbidung von R4 in R3 'auffassen' kann...

Ich habe jetzt A mal in Stufenform gebracht. Das giebt dann sowas wie:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -2,5 & 0 & -0,5 \\0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Daran glaube ich zu erkennen, dass ich zwei Variablen brauche. (?) Ist dann meine Dimension 2 vom Bild?

Irgendwas habe ich im Kopf von Abbildungen auf Nullvektoren.

verwirrt

Was ist den nun der Kern? Wie bekomme ich dessen Dimension? Uaaahhhh! Vorallem: Ich find nur diese "doofe" Definition $\begin{eqnarray*} Kern\left(A\right) = \left\{ \vec{v} \in A | L\vec{v} = \vec{0} \right\} \end{eqnarray*}$

Soll das heissen, dass das wenn ich A um ne Nullspalte erweitere und das LGS dan löse ich die Lösungsmenge meines Kerns bekomme?

Kann mich jemand auf die Richtige Spur bringen?

25.05.2009, 23:06

Felix

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Soll das heissen, dass das wenn ich A um ne Nullspalte erweitere und das LGS dan löse ich die Lösungsmenge meines Kerns bekomme?

Das wäre eine Möglichkeit. Eine andere wäre zuerst $\begin{eqnarray*} dim(Bild(A)) = Rang(A) \end{eqnarray*}$ zu berechnen und dann die Dimensionsformel für lineare Abbildungen anzuwenden.

Die übliche(?) Definition des Kerns einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} f: V \to W \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} Kern(f) = \{ v \in V : f(v) =0 \} \end{eqnarray*}$ .

25.05.2009, 23:07

congo.hoango

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kern, Bild, Dim (mal wieder)

Zitat:

Original von cy-ba
Ich habe jetzt A mal in Stufenform gebracht. Das giebt dann sowas wie:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -2,5 & 0 & -0,5 \\0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Daran glaube ich zu erkennen, dass ich zwei Variablen brauche. (?) Ist dann meine Dimension 2 vom Bild?

Für die Zeilenstufenform müsstest du streng genommen noch Spalten tauschen...dann bekommst du sowas:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2,5 & -0,5 \\0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was meinst du mit "Daran glaube ich zu erkennen, dass ich zwei Variablen brauche."?

Die Dimension entspricht der Anzahl der lin. unabhängigen Vektoren...hier also 2, richtig.

Der Kern wären die Vektoren die auf den Nullvektor abgebildet werden, also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2,5 & -0,5 & | 0 \\0 & 1 & 0 & -1 & | 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie lautet hier die Lösungsmenge?

25.05.2009, 23:46

cy-ba

Auf diesen Beitrag antworten »

Da giebt's 2

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2,5 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 0,5 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder?

Hab da grad was gelesen:

Rang(A) = dim(Bild(A)) = Anzahl Kopfvars in der Matrix A

25.05.2009, 23:53

cy-ba

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso... die Basis des Bildes müsste folglich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein, oda? denn das ZSF ist ja sowas wie:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -2,5 & -1 & 0,5 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

26.05.2009, 09:27

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von congo.hoango
Für die Zeilenstufenform müsstest du streng genommen noch Spalten tauschen...dann bekommst du sowas:

Nie und nimmer darf man für die Erstellung der Zeilenstufenform Spalten vertauschen.

Zitat:

Original von cy-ba
Achso... die Basis des Bildes müsste folglich:

Das Ergebnis ist richtig, aber es lediglich eine mögliche Basis. Basen gibt es beliebig viele.

26.05.2009, 10:34

Felix

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist ja soweit ich sehe auch gar nicht Aufgabe, eine spezielle Basis anzugeben verwirrt

Zitat:

Zumal ich schon nicht verstehe wie man diese Abbidung von R4 in R3 'auffassen' kann...

Nimm einen Vektor x aus $\begin{eqnarray*} R^4 \end{eqnarray*}$ und multipliziere in mit der Matrix (dabei musst du dir den Vektor in "Spaltenform" vorstellen). Durch dieses Vorgehen erhältst du zu jedem $\begin{eqnarray*} x \in R^4 \end{eqnarray*}$ in eindeutiger Weise einen Vektor aus $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ .

Als Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -2 & 5 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ -2 & 5 & 3 & -2 \end{vmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

26.05.2009, 23:14

congo.hoango

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit

unglücklich

Nie und nimmer darf man für die Erstellung der Zeilenstufenform Spalten vertauschen.

Echt nicht? Wieso denn das nicht? Sollte dem so sein, so tut es mir leid, aber ich dachte "Zeilenstufenform" wäre das, was ich unter "Normalform" gelernt habe. Und sehe jetzt auch keinen Grund, warum man das hier nicht tun darf. Man muss halt nur dran denken, sie später bei der Angabe der Lösungsmenge wieder zurückzutauschen...

27.05.2009, 08:53

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von congo.hoango
Echt nicht? Wieso denn das nicht?

Weil in dem Verfahren zur Herstellung der Zeilenstufenform nur Zeilenoperatoinen erlaubt sind. Wie du selbst sagst, muß irgendwann zurückgetauscht werden. Also welchen Vorteil sollte das haben?

Zitat:

Original von congo.hoango
aber ich dachte "Zeilenstufenform" wäre das, was ich unter "Normalform" gelernt habe.

Dann erläutere mal, was du unter einer "Normalform" verstehst.

27.05.2009, 19:41

congo.hoango

Auf diesen Beitrag antworten »

Normalform = Matrix mit einsen auf der Diagonalen sonst nur Nullen.

Wir haben das immer so gemacht in der Uni, dass wir ne Matrix soweit es ging auf diese Form gebracht haben, und dann die restlichen "hinteren Spaltenvektoren" als linear abhängigen Rest sozusagen behandelt haben...ist eigentlich Wurst stimmt schon, aber dachte weil da bei uns an der Uni so viel Wert drauf gelegt wird, ist das überall so smile

Gibt ja so manche Sachen, die in meinen Augen schwachsinnig sind und man muss sie trotzdem machen. Aber wenn mein Einwand nicht allgemein richtig ist, ziehe ich ihn wieder zurück.

Gruß
congo

Neue Frage »

Antworten »

Kern, Bild, Dim (mal wieder)

Verwandte Themen