Matrix invertierbar, wahr oder falsch?

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fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix invertierbar, wahr oder falsch?
Hallo Leute,

Gegeben:
Die Matrix B eine quadratische Matrix.
E ist die Einheitsmatrix.

Ich soll beweisen das diese Aussage entweder wahr oder falsch ist:
daraus folgt das B invertierbar ist.


Lösungsansatz:

Ich sage diese Aussage ist falsch.
Es würde nur zutreffen wenn wäre.

nur dann würde gelten und die Matrix B wäre invertierbar.

Eine weitere Bedingung das eine Matrix invertierbar ist:





Aber ich glaube meine "Beweis " reicht leider nicht aus, kann mir jemand auf die sprünge helfen? wie kann ich das noch geschickt beweisen?
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »


tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix invertierbar, wahr oder falsch?
für alle Matrizen A und B.

Nun gilt:

(*)

Wäre B nun singulär, so gilt . Damit folgt ,

Also muss B ... sein.


Wie kannst du dir das mal bzgl. der Bildräume von B und B^6 erklären? Mal die Dimensionsformel benutzen.
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix invertierbar, wahr oder falsch?
Ich hab mal die Lücken ausgefüllt, stimmt das so?

Zitat:
Original von tigerbine
Wäre B nun singulär, so gilt . Damit folgt 0,

Also muss B nicht invertierbar sein.



Wenn aber die Matrix B regulär ist gilt:

0

Also ist B invertierbar .

Wie verknüpfe ich das aber mit der Einheitsmatrix?

Für die Einheitsmatrix gilt immer:

Somit stimmt die Behauptung wenn soll die Matrix invertierbar sein, nicht.

Weil dies nur bei einer regulären Matrix B, die eine det(B)=1 hat zutrifft.


Stimmt das nun so?
Oder gibt es noch etwas zu ergänzen?
tigerbine off Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix invertierbar, wahr oder falsch?
Dass 0 stimmt. Aber an dem Wäre solltest du doch erkennen, dass ich damit einen Widerspruchsbeweis einleite.

Denn es ist ja nun mal det(B^6)=det(E)=1.

Also muss B was sein?
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix invertierbar, wahr oder falsch?
Zitat:
Original von fraggelfragger

Wenn aber die Matrix B regulär ist gilt:



Ja dann muss sie erstmal regulär sein, aber nur eine determinante von 1 besitzen.
Also ist sie die Einheitsmatrix selbst.

da:

 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix invertierbar, wahr oder falsch?
nein. es gibt ja noch andere Matrizen mit det(A)=1. Ferner solltest du ja nur invertierbar zeigen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@tigerbine

Das ist ja wirklich ein furchtbares unlogisches Kuddelmuddel, welches fraggelfragger aus deiner Skizze eines indirekten Beweises gemacht hat.


@fraggelfragger

Anscheinend brauchst du eine Wiederholung des Prinzips des indirekten Beweises:

Die Aussagen und sind äquivalent, also kann man statt ersterem auch letzteres beweisen. Im vorliegenden Fall geht es dabei um die Aussagen

...
... ist invertierbar (gleichbedeutend mit )

Die Negationen davon sind

... ist nicht invertierbar (gleichbedeutend mit )
...

Aus folgt nun , während bekanntlich ist, somit gilt , also .



Ich weiß, die Darstellung der Logikkomponente war vielleicht übertrieben ausführlich, aber angesichts des Threadverlaufs m.E. bitter notwendig.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Ausführungen, Arthur. Ich hoffe wir können nun rufen "Mein Gott, er hat es!" Augenzwinkern
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »

Da hab ich meinem selbstverliehenen Benutzertitel/Rang ja mal wieder alle Ehre gemacht Big Laugh

danke an euch beide das ihr euch soviel Mühe gegeben habt mir zu helfen.

Hoffe ich habs nun verstanden Augenzwinkern
Es steht ja sogut wie alles schon da, ich gebe es nur nochmal mit eigenen Worten wieder. Ich hoffe auch das ihr sagt: "Mein Gott, er hats verstanden"...

Also die Aussage ist invertierbar

Kann indirekt über eine andere Aussage nachgewiesen werden.
(Das "Komplementär"/Gegenstück dieser Aussage muss also bewiesen werden).


Wenn also...
ist nicht invertierbar ...wahr ist,

so gilt auch die Aussage das ... ist invertierbar
..ebenfals als wahr.


Das die Aussage ist nicht invertierbar gilt, weise ich folgendermaßen nach.

Determinante auf beiden Seiten bilden:


für B ist nicht invertierbar gilt:






daraus folgt also:
ist nicht invertierbar


Dann ist wiederrum die Aussage:
ist invertierbar richtig
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Wie kommst du denn nun auf .... unglücklich Es gilt nun einmal: . Das hat nun aber zur Folge (=> einseitig!), dass auch gilt . Dabei ist mir der konkrete Wert rechts total egal, bis eben auf die Kleinigkeit, dass gilt . Daraus folgt (<=>) dass die Potenzmatrix regulär ist.

Offene Frage, kann B singulär sein? Und das widerlegen wir.
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »

So jetzt hab ichs nochmal versucht von Anfang an.
Das B nicht sigulär sein kann habe ich ebenfals gezeigt.

Ist das nun so richtg/verständlich?

Zitat:
Allgemeine Def. von Singulär
Matrix M ist singulär wenn ihre Determinante gleich 0 ist.




Zitat:
Allgemeine Def. von Regulär
Matrix M ist regulär wenn ihre Determinante ungleich 0 ist.





Zitat:
Allgemeines Kriterium für die Invertierbakeit:
Eine Matrix M ist invertierbar wenn sie regulär ist.

invertierbar.


Frage:
Wenn B regulär dann auch regulär?

Nachweis:
regulär bedeutet das

Zitat:
Produktregel bei Determinanten:



somit gilt in unserem Fall:


Und deshalb ist B^6 ebenfals regulär.

Jetzt ist aber noch nachzuweisen, das B wirklich regulär ist.

Diese Aussage ist gegeben und ist Richtwert:
invertierbar

Aus obrigen Definitionen folgt:

1) regulär invertierbar.

2) Wenn E regulär dann auch B^6 regulär.


( rechnung siehe oben)

Mit Worten, Somit ist nachgewiesen das B sein regulär muss.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@fraggelfragger

Du solltest mal ernsthaft deinen mathematischen Stil überdenken. Mir drängt sich der Eindruck auf, dass du alles und jedes, was dir zum Problem durch den Kopf geht, ohne Überprüfung niederschreibst. So nach dem Motto: Irgendwas richtiges wird schon dabei sein.

Ist es auch, aber dann taucht zwischendurch wieder solche haarsträubende Unlogik

Zitat:
Original von fraggelfragger
Wenn also...
ist nicht invertierbar ...wahr ist,

so gilt auch die Aussage das ... ist invertierbar
..ebenfals als wahr.

auf, die zumindest in meinen Augen alles vernichtet. Wenn du sowas in irgendeiner Klausur etc. präsentierst, würde ich nicht darauf rechnen, dass der Prüfer sich die richtigen Sachen rauspickt und die falschen einfach überliest. unglücklich

Also: Quantität deutlich reduzieren, Qualität steigern!
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
....
Die Aussagen und sind äquivalent, also kann man statt ersterem auch letzteres beweisen. Im vorliegenden Fall geht es dabei um die Aussagen

....

...
... ist invertierbar (gleichbedeutend mit )

Die Negationen davon sind

... ist nicht invertierbar (gleichbedeutend mit )
...


Ich habe nur das gemacht was du mir erklärt hast, ich beweise das diese Behauptung : wahr ist.

Und somit ist dies der Beweis das diese auch stimmt:

so habe ich das aus deiner Erklärung herrausgelesen :/
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fraggelfragger
Ich habe nur das gemacht was du mir erklärt hast, ich beweise das diese Behauptung : wahr ist.

NEIN, das hast du eben nicht gemacht:

Statt hats du hingeschrieben, was etwas völlig anderes ist.

Diese ärgerliche Schlamperei ist bei dir ständig festzustellen, und in der Mathematik geradezu tödlich. unglücklich
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »

So jetzt hab ich mir das alles nochmal genau durchgelesen,
und möchte nocheinmal versuchen die Aufgabe korrekt zu lösen, genau wie ihr es mir gesagt habt.

Ich möchte mich ausserdem bei Arthur Dent entschuldigen, ich habe nicht das gemacht das du mir erklärt hast. Ich hatte wohl nicht richtig gelesen.
Die Schlamperei versuche ich mir abzugewöhnen.



ist invertierbar.


Um die obrige Aussage nachzuweisen, kann ich ebenfals die Negation der Aussage nachweisen.


Zunächst allgemein, Wie sieht eine Aussage aus?
Ursache Folge

Eine Negation der Aussage wird erstellt in dem man Ursache (U) negiert und zur Folge der negierten Aussage macht, die Folge(V) der Aussage wird ebenfals negiert und zur Ursache der negierten Aussage gemacht.

Negation der Aussage:


ist nicht invertierbar


Wann ist die eine Matrix nicht invertierbar?




Und somit gilt:


Die Negation der Aussage ist nachgewiesen, somit ist die Aussage selbst auch richtig.


Ps: teert und federt mich wenn ichs jetzt nicht gerafft habe Hammer
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