Aus Stichprobe auf die Gesamtheit schließen

27.05.2009, 13:22	Mitchmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus Stichprobe auf die Gesamtheit schließen Hi Ihr, ich habe folgendes Szenario: Es sei eine Menge von $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ Bällen gegeben, die alles weiß sein sollten, es können aber auch schwarze dabei sein. Nun ziehe ich (ohne Zurücklegen) eine Stichprobe im Umfang von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Bällen. In dieser Stichprobe befinden sich nun $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ weiße Bälle (z.B. $\begin{eqnarray} y=0 \end{eqnarray}$ ). Ich möchte folgende Aussage treffen: Mit 95 Prozentiger Wahrscheinlichkeit kann ich davon ausgehen, dass weniger als $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ Prozent der Bälle schwarz sind! Meine Frage: Wie ich kann ich $\begin{eqnarray} $x$ \end{eqnarray}$ berechnen? In verschiedenen Posts habe ich schon Formeln gesehen, mit denen man die minimal notwendige Stichprobengröße berechnen kann, um eine ähnliche Aussage zu treffen, aber für mein Problem habe ich noch keine Lösung gefunden. Ich bin für jede Hilfe dankbar! Michael.
27.05.2009, 18:22	Mitchmo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aus Stichprobe auf die Gesamtheit schließen Hätte nicht gedacht, dass das Problem so schwer ist, dass nicht gleich jemand "hier" schreit. Eigentlich dachte ich sogar, dass dies ein Standardproblem mit einer Standardlösung ist... Schade.
28.05.2009, 03:17	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei deinem Problem geht es ja um hypergeometrische Verteilung. Man kann diese u.U. mit der Binomial/Normalverteilung approximieren und dann ein Intervall bestimmen, wie weit der tatsächliche Mittelwert vom Mittelwert der Stichprobe abweichen darf. Wenn du eine Obergrenze angeben willst, solltest du die Intervallbreite auf 90% festlegen und dann den größten eben noch möglichen tatsächlichen MW als 95%-sicheren Maximalwert ansehen. http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:...on_Verteilungen
28.05.2009, 17:04	Mitchmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus Stichprobe auf die Gesamtheit schließen Hallo Frank, danke für Deine Antwort. Dass es sich hier um eine hypergeometrische Verteilung handel, die ich approximieren kann, ist mir klar. Ich habe aber generell ein Problem wie ich nun weiterverfahren soll. Die obere Grenze habe ich in dem Beispiel ja bereits mit $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ angegeben. Wenn ich nun $\begin{eqnarray} y=0 \end{eqnarray}$ gemessen habe, was ist denn dann die Intervallbreite von der Du redest? Ich möchte ja von der "Erfahrung" aus der Stichprobe Rückschlüsse auf die Gesamtheit ziehen. Sorry, ich bin etwas verwirrt. Michael.
28.05.2009, 23:30	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir an du hast 100 Bälle und ziehst 10, die alle weiß sind. Jetzt möchtest du ja z.B. die Hypothese aufstellen "es sind weniger als 30 schwarze darunter" und diese Hypothese soll nur zu 5% fehlerhaft sein. Das wäre gleich mit der Aussage "zu 95% sind weniger als 30 Bälle schwarz". Du kannst jetzt P(x=0) ausrechnen für M=30, N=100,n=10 $\begin{eqnarray} P(x=0) =\frac{\begin{pmatrix} 70 \\10 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 100 \\ 10 \end{pmatrix}}=0,022 \end{eqnarray}$ D.h. diese Aussage wäre sogar nur zu 2,2% fehlerhaft. Suche nun ein M (vielleicht um die 20) das 5% Fehlerhaftigkeit zulässt.Das wäre dann deine Obergrenze.
03.06.2009, 19:29	Mitchmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, jetzt habe ich es endlich begriffen. Wie immer: Anzahl der günstigen Ereignisse durch Anzahl der möglichen. Ich fasse zusammen: Gegeben sei $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ : Anzahl der Bälle in Urne $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ : Größe der Stichprobe (Anzahl der Bälle, die ohne Zurücklegen gezogen wurden) $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ : Anzahl der schwarzen Bälle in der Stichprobe $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ : Anzahl der schwarzen Bälle in der Urne Die Wahrscheinlichkeit, dass die Aussage "In der Urne befinden sich $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ schwarze Bälle, wenn ich $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Bälle gezogen habe und darunter $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ schwarze Bälle waren" korrekt ist, berechnet sich dann wie folgt: $\begin{eqnarray} P=1-\frac{\binom{M}{x} \cdot \binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}} \end{eqnarray}$ Ich konnte mir jetzt ein ein kleines Skript schreiben, was einfach $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ soweit erhöht, bis ein verlangtes "Sicherheitsniveau" erreicht wurde. Ganz einfach. Ein Problem habe ich nun aber bekommen, wenn ich das ganze mit der Binomialverteilung (oder der Poissonverteilung) approximieren will. Das funktioniert super für $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ , geht aber für $\begin{eqnarray} x \neq 0 \end{eqnarray}$ total in die Hose (hier fällt $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ anstatt zu wachsen ). Hast Du noch eine Idee, Frank?
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03.06.2009, 19:40	Mitchmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay: ich muss addieren, oder? Also für $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ einmal die Wahrscheinlichkeit, dass ich keinen schwarzen Ball in der Stichprobe habe plus die Wahrscheinlichkeit, dass ich einen Ball in der Stichprobe habe!

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