Stammfunktion bestimmen

16.09.2006, 20:38

jaymasterjay

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Stammfunktion bestimmen

Hallo bräuchte mal eure Hilfe. Es geht um Stammfunktionen.Wäre für jede Antwort dankbar.

Also, hier die Aufgaben:

a)Der Graph einer Stammfunktion von f mit f(x) =x^3 hat in den Schnittpunkten mit der x-Achse Tangenten, die orthogonal zueinander sind.Bestimmen Sie diese Stammfunktion.

b) Welche Stammfunktionen von f mit f(x)= 1-3x haben nur negative Funktionswerte?

c)Welche Stammfunktionen von f mit f(x)= x^2 haben an ihrer Nullstelle die Ableitung 2?

16.09.2006, 20:40

zt

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Und jetzt erwartest du eine Komplettlösung?

16.09.2006, 20:44

jaymasterjay

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naja.Von a) habe ich schon die stammfuntion berechnet und sie gleich null gesetz und das dann nach x umgeformt.Aber weiter komme ich nicht.Wäre für eure Hiölfe dankbar.

16.09.2006, 21:08

Bjoern1982

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Wow, so ne Aufgabe hab ich auch noch nicht gesehen.

Wie sehen denn deine Nullstellen der Stammfunktion aus?

Nehme dann zwei dieser Nullstellen und setze sie in F '(x)=f(x) ein, um deren Tangentensteigung zu erhalten.

Als letztes brauchst du:

Zwie Geraden (Tangenten) stehen genau dann senkrecht zueinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen -1 ergibt.

Na dann mal los Big Laugh

Big Laugh

Gruß Björn

16.09.2006, 21:39

zt

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Hab ich das falsch verstanden? Hier mal, wie ich das für $\begin{eqnarray*} a) \end{eqnarray*}$ machen würde..

$\begin{eqnarray*} \rightarrow\ F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

verwirrt

16.09.2006, 21:50

Bjoern1982

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Hmm, komme auf andere Werte und die Probe klappt auch prima.

Also ich hab $\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{x^4}{4}- \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Edit:

Jetzt hatters doch noch geändert ^^

Gruß Björn

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16.09.2006, 21:55

jaymasterjay

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Hey könntet ihr mir mit rechenschritten erklären, wie ihr auf diese gleichung kommt? Danke

16.09.2006, 21:55

zt

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Ja, sry. Ich war etwas verpeilt. Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} C=\sqrt[4]{4} \end{eqnarray*}$ stimmt natürlich nicht. smile

smile

Edit: @jaymasterjay

$\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ gibt doch die Steigung der Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ an. Da die Steigung $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ betragen soll, folgt $\begin{eqnarray*} 1=x^3\ \rightarrow\ x=1 \end{eqnarray*}$ . Dann für $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0=\frac{1^4}{4}+C \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ umstellen..

16.09.2006, 21:55

Bjoern1982

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Zitat:

Wie sehen denn deine Nullstellen der Stammfunktion aus?

16.09.2006, 22:00

jaymasterjay

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aso.Naja wenn ich die Stammfunktion F(x)= 0,25x^4+c gleich null setze und nach x löse,dann komme ich auf +-(-4c)^0.25

16.09.2006, 22:03

zt

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So war das aber nicht gemeint, oder Björn?

16.09.2006, 22:03

Bjoern1982

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Genau, hatte ich auch raus

Jetzt berechne doch mal F'(x)=f(x) an diesen beiden Stellen

Edit:

Zitat:

Da die Steigung $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ betragen soll,

Wo steht denn das?

16.09.2006, 22:12

jaymasterjay

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woher weiss ich dass die steigung gleich 1 sein soll?

16.09.2006, 22:26

zt

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Naja, wenn Tangenten orthogonal zueinander stehen sollen und der Graph achsensymmetrisch ist, dann müssen die Tangenten ja zwangsweise eine Steigung von $\begin{eqnarray*} \pm{45°} \end{eqnarray*}$ aufweisen..

16.09.2006, 22:46

Bjoern1982

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Gut kombinert Dr. Watson Freude

Freude

Das ist dann natürlich der elegantere Weg.

Klappt aber auch wie ich es oben geschildert hab Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß Björn

16.09.2006, 23:22

zt

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Lösungsvorschlag für die 2. Aufgabe - was meint ihr?
$\begin{eqnarray*} b)\quad\ x\left(\frac{3}{2}x+1\right)-\frac{1}{6}+a\quad\ a<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \end{eqnarray*}$ verstehe ich nicht. unglücklich

unglücklich

16.09.2006, 23:32

MrPSI

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c) würde ich so machen:
Man kann ja den x-Wert der Steigung errechnen. Und nach der Errechnung dieses Wertes kann man locker die Konstante errechnen.

//edit:
@Zahlentheorie: wie kommst du darauf?

16.09.2006, 23:45

zt

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Ups! Ich meine

Lösung entfernt

zu $\begin{eqnarray*} c) \end{eqnarray*}$ Ich verstehe die Aufgabenstellung generell nicht.

16.09.2006, 23:49

MrPSI

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Ne, erklären musst du das nicht. Big Laugh

Big Laugh

Zu c): Man sucht Stammfunktionen, deren Nullsten F(x)=0 die Ableitung f(x)=2 haben.

Nun klar? Sonst präzisiere die Stelle der Unklarheit.

Daher sucht man zuerst mal alle Stellen, die überhaupt diese Steigung haben und dann kann man bestimmen, welche Stammfunktionen solche Nullstellen haben.

17.09.2006, 00:40

zt

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Danke!

smile

$\begin{eqnarray*} c) \end{eqnarray*}$ hab' ich nun auch verstanden. Die Aufgabenstellung ist etwas verwirrend, da nach "Stammfunktionen" gefragt wird, aber tatsächlich gibt es nur eine Stammfunktion - wie ich meine.

Hätte da [Lösung entfernt] anzubieten.

17.09.2006, 01:00

MrPSI

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Passt auch. Anfangs hat mich das Wort "Stammfunktionen" ebenfalls verwirrt, doch ich habe es als Verallgemeinerung genommen.

Aber eine Frage bleibt noch: bist du der Fragensteller oder jaymasterjay? Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.09.2006, 01:10

zt

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Oh sry. Die Aufgabe hat mich total mitgerissen. Big Laugh

Big Laugh

Edit: Hab' die Lsg. erstmal wieder rausgeschmissen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.09.2006, 22:02

jaymasterjay

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So, nun habe ich mal ne frage zu c).

Ich erläutere euch mal,wie ich vorgegangen bin.

Zunächst einmal habe ich die Stammfunktion von f(x)=x^2 gebildet
(=> F(x)=1/3x^3+c). Dann habe ich dioese Stammfunktion gleich null gesetzt und die Nullstelle in f(x) eingesetzt.Anstelle von f(x) habe ich dann die 2 eingesetzt und c berechnet. Die Stammfunktion lautet dann bei mir F(x)=1/3x^3-0,942809.Ist das richtig?Wenn nicht dann verbessert mich.Thx

18.09.2006, 22:27

MrPSI

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Passsst.

Freude

18.09.2006, 22:37

jaymasterjay

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Aber bei b) Habe ich ein problem.Könntet ihr mir helfen.Also ich habe zunächst die Stammfunktion berechnet( F(x)=x-1,5x^2+c).Inwiefern soll ich das kleiner null setzen?

18.09.2006, 22:49

MrPSI

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Die Stammfunktion ist ja eine Parabel. Bringe diese mal auf die Scheitelpunktform, dann siehst du wie c gesetzt werden muss, damit die Stammfunktion immer kleiner 0 ist.

18.09.2006, 22:50

jaymasterjay

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was ist dennn die scheitelpunktsform??

18.09.2006, 23:03

MrPSI

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Die Scheitelpunktform ist eine Darstellungsform einer Parabel, an der man direkt den Scheitelpunkt ablesen kann.

Bei Quadratische Ergänzung siehst du, was die Scheitelpunktform aussieht und wie man sie erreichen kann. Wiki und Google können natürlich auch ein wenig hilfreich sein.

18.09.2006, 23:11

jaymasterjay

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kann man das auch anders als mit der scheitelpunktsform berechnen?Z.B. durch ermittlung von extremwerten oder so.Das bereitet mir nämlich probleme.

18.09.2006, 23:30

MrPSI

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Doch es geht, und zwar indem du den Extrempunkt suchst und dann in die Stammfunktion einsetzt. Damit kannst du dann das c errechnen.

18.09.2006, 23:36

jaymasterjay

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danke dir.

18.09.2006, 23:39

jaymasterjay

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muss ich da die extremwerte aus der Stammfunktiuon berechnen oder die von f(x)??

18.09.2006, 23:41

MrPSI

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Da f(x) linear ist, gibt es dort keine Extrempunkte. Also macht das Suchen von Extrempunkten nur bei F(x) Sinn. Aber dazu wird ja f(x) benötigt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.09.2006, 23:52

jaymasterjay

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Komisch wenn ich die Nullstellen von f(x) ausrechne und diese dann in F(x) einsetze komme ich auf 1/6+c. Und was nu??

18.09.2006, 23:58

MrPSI

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Indem du die Extremstelle von F(x) berechnet hast, hast du automatisch den Scheitelpunkt errechnet. Und nach einigen Vereinfachungen muss gelten, 1/6+c < 0 . Damit hast du einen c-Wert errechnet, bei dem der Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse liegt und damit die Aufgabenstellung erfüllt.

Aber der Haken ist, dass du auch zeigen musst, dass auch alle anderen Punkte für $\begin{eqnarray*} c < -\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ unterhalb der x-Achse liegen, damit die Aufgabe erfüllt ist.

Tipp hierfür: Wann weisst du, wenn die Parabel komplett unterhalb der x-Achse liegt? Es hat etwas mit den Nullstellen zu tun.

19.09.2006, 00:02

jaymasterjay

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Ich habe irgendwie keine Lust mehr.Ich kriege die Aufgabe net hin.Naja danke trozdem.

19.09.2006, 00:06

MrPSI

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Wieso wirfst du gleich die Flinte ins Korn? Du hast es ja fast geschafft, jetzt musst du nur noch zeigen, dass die Parabel für c < -1/6 keine Nullstelle hat und die Aufgabe ist erledigt.
Dabei hilft dir eine Betrachtung der Determinate bei der pq-Formel.

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