Äquivalenzbeweis

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schmouk Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzbeweis
Hi, it's me again,

nur mal eine Kleinigkeit zwischendurch:


(i) Sei , so ex. kein mit
(ii) Sei , so ex. kein mit

zz: (i) gdw. (ii)

Erstmal das Umschreiben in quantorenschreibweise:

1. Kann ich sagen: ?

Grüßle vom verwüsteten Bodensee.

Schmooo

Edit: LaTeX korrigiert. Gruß, Reksilat.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzbeweis
Zitat:
Original von schmouk
v,w\in\mathbb{R}^n
(i) Sei , so ex. kein mit
(ii) Sei , so ex. kein mit

Da beide Aussagen falsch sind, sind sie in gewisser Weise auch äquivalent. verwirrt
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzbeweis
Ich würde nicht mal "falsch" sagen, sondern einfach nur falsch formuliert. Wenn die beiden Vektoren und schon vorher fest gegeben sind, dann ist das "Sei ..." fehl am Platze und es sollte eher "Wenn ..." heißen. Sind und nicht fest, so ist das in der ersten Aussage nicht definiert.

Genauso ist Deine Quantorenschreibweise falsch, da Du auch hier ein festes benötigst.

Aber selbst die folgende Umformulierung bringt nichts:
Zitat:
Seien
(i) Wenn , so ex. kein mit
(ii) Wenn , so ex. kein mit

Auch hier sind die Aussagen nicht äquivalent.

Gruß,
Reksilat
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

Hm...

und so... Für zwei Punkte sind die folgenden Bedingungen äquivalent:
(i) , und es gibt kein mit
(ii) , und es gibt kein mit

?


Zur Quantorenschreibweise. Wenn die Aussage an sich falsch ist - okay. Aber ist die Umsetzung der flaschen Aussage in die falsche Aussage als Quantorenschreibweise denn wenigstens richtig?
Bedeuten sie das gleiche?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Für zwei Punkte v,q\in\math{R}^n sind die folgenden Bedingungen äquivalent:
Und wieder die LaTeX-Tags vergessen... Außerdem muss das q ein w sein. Augenzwinkern

Naja, mit dieser Aussage kann man wenigstens etwas anfangen und sie stimmt auch.

Zu den Quantoren:
Der Ausdruck ist nur dann sinnvoll, wenn es ein fest vorgegebenes , aber kein festes gibt. Das war hier aber nicht der Fall und insofern kann man mit diesem Ausdruck nichts anfangen. Du musst immer im Auge behalten, woher Deine Variablen kommen und ob an diesem Punkt fest vorgegeben oder frei wählbar sind.

Was ist denn jetzt eigentlich die Aufgabe? Um die Aussage zu beweisen, benötigst Du eigentlich keine Umformung in Quantorenschreibweise.
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich kenn auch die Lösung der Auufgabe. Und sie leuchtet auch insgesamt ein, aber ein paar, ich sag mal Schlussfolgerungsschwierigkeiten, habe ich doch.

Würdest Du mir die Aussage
(i) , und es gibt kein mit
mal in Quantorenschreibweise übersetzen?

Schmo
 
 
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »



Geht nicht anders, da ja und "außerhalb" dieser Aussage definiert sind. So etwas wie "Für alle v" kann hier also gar nicht stehen.
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

Das "Gilt" gilt für die "und" verknüpfung, oder?
Also wäre es auch nicht falsch zu schreiben:


??

kann ich das dann auch so verstehen:



Warum dann nicht?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal mit Klammern:


Am Anfang steht: Seien
Es ist danach vollkommen sinnlos von oder ähnlichem zu sprechen, da wir ja bereits ein festes gegeben haben.

Betrachte einfach mal die folgende Aussage:
Zitat:
Es sei und . Dann ist für alle immer

Was hat das aus dem ersten Satz mit dem aus dem zweiten zu tun? Eigentlich nichts - diese Aussage ist vollkommen verwirrend und insofern nicht zu gebrauchen.

Wieso willst Du eigentlich alles in irgendwelche Quantoren pressen? Das bringt Dir hier nichts.
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, genau wegen diesen Missverständnissen.

Mit der Klammersetzung ist es klar. Mag sein, dass man die logische Struktur normalerweise irgendwie intuitiv richtig einschätzt, aber ich hab da halt so meine probleme mit, noch. deshalb muss ich das üben.

So, jetzt führe ich den Beweis mal, wie ich ihn mir vorstelle:

Nämlich:

Erstmal gehe ich davon aus, dass (i) und (ii) wahr sind.
Jetzt will ich zeigen, (und ich mache das nicht so ausführlich, damit Du das verstehst, das tust do wohl, sondern damit Du meine Schritte nachvollziehen kannst um mir meine Fehler zu zeigen) dass aus (i) wahr folgt (ii) wahr.

okay.

also guck ich, wann wird (ii) denn falsch?

das ist also nach der Klammersetzung wenn oder

Also nehme ich zuerst meine Teilaussage und schaue was passiert, wenn ich annehme und (i) ist wahr: Dann kann ich w=0 schreiben als und damit hätte ich ein rho gefunden, mit , was (i) widerspricht.

korrekt?

Dann die zweite Teilaussage:

also

Dann ist und da ebenso wie selbst aus ist, ist das Widerspruch zu (i).

Also kann unter der Bedingung dass (i) richtig (ii) nicht falsch sein und muss folglich wahr sein wenn (i) wahr. Also äquivalent.

Sehe ich das so richtig?
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das so ein kompletter Schwachsinn??
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Nö, eigentlich sieht es ganz ordentlich aus.

Sorry, dass ich bisher nicht reagiert habe. Ups

Zitat:
Erstmal gehe ich davon aus, dass (i) und (ii) wahr sind.

Das verwirrt mich.

Teile den Beweis doch einfach in
a) (i)=>(ii)
b) (ii)=>(i)

Teil a) hast Du oben auch schon richtig gemacht. Für die Äquivalenz musst nun auch noch die zweite Richtung zeigen, diese funktioniert aber wirklich komplett analog (man muss nur und vertauschen) - das nochmal aufzuschreiben ist eigentlich überflüssig, erwähnen sollte man es aber trotzdem.

Gruß,
Reksilat.
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