kleiner Beweis (Adjungierte ist die komplex konjugierte Transponierte)

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kingskid Auf diesen Beitrag antworten »
kleiner Beweis (Adjungierte ist die komplex konjugierte Transponierte)
Hi!
Habt ihr nochmal ein Tipp für mich?
Verusche das hier zu beweisen:

, wobei

irgendwie fehlt mir die idee wie ich die Matrix A zu dem y rüberbekomm...

viele grüße
xrt-Physik Auf diesen Beitrag antworten »

Hilft das weiter?







JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von xrt-Physik
Hilft das weiter?

Nein, da nur Spezialfall 2x2. Was ist mit den anderen Fällen?

Da helfen wieder einige Definitionen des Skalarproduktes, insbesondere auch die Hermiteschheit (Hermitität?) [oder verwechsel ich da gerade ein paar Anforderungen des SKP?].

Beachte insbesondere auch wieder, dass man Skalare beliebig transponieren kann.




*Titel geändet*, du bist doch lange genug dabei, kingskid, um zu wissen, dass der was über das Thema aussagen soll
und "kleiner Beweis" ist doch etwas seeeehr allgemein
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, ja hab ja schon versucht dran rum zu basteln, aber irgendwie dreh ich mich im kreis...

ich mein so ne hermitesche matrix lässt das skalarprodukt dann auch invariant, oder?

inzwischen bin ich hier angelangt:



...aber irgendwie macht das nicht viel sinn, weil ich die Matrix vor dem x nicht wegbekomm... ?!


@loed: ops, sorry, danke fürs titel ändern...
aber bei dem beweis darf ich doch voraussetzen, dass A*= die komplexkonj. und transponierte ist, oder?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Das setzt du eigentlich nicht voraus, das zeigst du hier, ich finde die Schreibweise etwas komisch.
Mit A* wird (allgemein?) die adjungierte lineare Abbildung bezeichnet, dass ist eben diese, die das da mit dem Skalarprodukt erfüllt, du müsstest dann zeigen, dass diese Adjungierte gerade die komplex konjugierte Transponierte ist.

Ihr zäumt das Pferd von hinten auf, in dem ihr A* als k.k. und t. definiert und zeigt, dass das die Adjungierte ist. Soll auch recht sein.



Was du hier mir (.,.) und Wurzel aus <.,.> meinst, verstehe ich gerade nicht.
Ich würde vermuten, (.,.) ist hier direkt schon das Standardskalarprodukt, dann kannst du wieder wie im reellen umschreiben als Matrizenprodukt von x transponiert mit y (war da nicht noch y komplex konjugiert? schau das noch mal nach).

Wenn ich irre, schreibe nochmal, was (.,.) genau sein soll.
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die tipps...

ja, also unsre numerik-profin hat das so definiert

und

wobei mich das mit der wurzel immer verwirrt, bedeutet dann <x,y> das gleiche wie (x,y) ? und die wurzel nur bei der norm?

okay... auf jeden fall hab ich das nun so:



y=y^t, aber jetzt hab ich ja aber dummerweise noch ein komplexkonj. y,
irgendwas stimmt da noch nicht?!?

viele grüße
 
 
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wieso setzt du einfach ein?
An der Stelle musst du einsetzen.
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

warum darf ich das nicht einfach so einsetzen?

hab ich die definition falsch verstanden? da steht doch dass ??

aber wenn ich A* einsetze, wie komm ich dann weiter?

JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch nicht , wieso sollte das denn gelten?

Aber "doppelt komplex konjugiert, doppelt transponiert" das hebt sich auf.
Wende doch mal die komplexe Konj. und die Transp. auf A* an.




edit: das letzte ist doch "fast" schon fertig
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

ah, okay, du meinst so:



ist es das??


hm, ja ich check das nicht ganz, wenn die matrix hermitesch ist, gilt doch: .

und wir haben nun aufgeschrieben:

wieso darf ich dann nicht einfach nur das zweite gleichheitszeichen betrachten??

viele grüße
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ah, ich sehe gerade..... wieso habt ihr denn diese Voraussetzung?
A*=A ist doch nur relativ selten der Fall....

Ich hatte gedacht, ihr solltet das allgemein zeigen, ohne diese Bedingung vorausgesetzt zu haben, das müsste (imho? wer weiß da mehr?) auch für nichthermitesche Matrizen gelten.
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich weiß nicht, wahrscheinlich ist es doch keine voraussetzung, die aufgabenstellung heißt so:

"Zeigen Sie, dass für alle x,y aus C^n und gilt: ."

das mit A* = A steht in der aufgabe ja nicht direkt drin, aber in unsrem skript steht dass heißt hermitesch, falls gilt.
was A* genau sein soll ist allerdings nirgends zu finden unglücklich

ich mein wenn es die adjungierte ist wie du gemeint hast, dann funktioniert der beweis so wohl nicht...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

doch der funktioniert so
A=A* gilt ja nur bei hermiteschen Matrizen, die Aussage soll aber FÜR ALLE gelten

Die Aussage ist eben, dass du das A* eben berechnen kannst, indem du A transponierst und komplex konjugierst.


Du zeigst also einfach, dass diese komplex konjugierte Transponierte (kkT) die Eigenschaften der Adjungierten erfüllt.
Das hast du oben doch eigentlich schon ganz gut angefangen.


zz. ist für alle x,y: , das musst du nachrechnen, denn dann ist dieses die Adjungierte von A.
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, aber wenn ich für das A nichts andres einsetzen darf, wie kann ich dann zeigen dass sie die gleichen eigenschaften hat??





verwirrt
gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kingskid
hmm, aber wenn ich für das A nichts andres einsetzen darf, wie kann ich dann zeigen dass sie die gleichen eigenschaften hat??





verwirrt

Mein Gott, es ist ja nicht mit anzusehen.
Du musst einfach nur mal beide Ausdrücke RICHTIG aufschreiben, dann steht es sofort da.
Die ganze Aufgabe ist sowas von trivial, wenn man die Begriffe auch nur ein bisschen verstanden hat, kann diese einem keine Probleme bereiten. Du solltest Dich mal weniger auf dieses Forum und mehr auf Dich selbst verlassen, diese Unselbstständigkeit ist ja unerträglich. Wie lange denkst Du eigentlich über die Aufgaben nach, bevor Du sie hier postest? 30 Sekunden?
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