Kondition, Abschätzung und Beweis von Normungleichung

29.05.2009, 18:13

Maltee

Kondition, Abschätzung und Beweis von Normungleichung

Guten Abend ich bräuchte bitte Hilfestellung/Ansätzen zu folgenden Fragestellungen:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b+\Delta b=\begin{pmatrix} 616 \\ 425 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
1) Bestimmen sie die Kondition von A, mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} K(A) = ||A||*||A^{-1}|| \Rightarrow ||\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}|| * ||\begin{pmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}|| \Rightarrow (2*7) * (2*7) = 196 \end{eqnarray*}$
Ist es richtig, dass $\begin{eqnarray*} ||A|| = n*max(A) \end{eqnarray*}$ ist?
2) Geben sie eine Abschätzung für die Lösung $\begin{eqnarray*} x+\Delta x \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A(x+\Delta x) = b+\Delta b \end{eqnarray*}$ an.
Hier habe ich leider keinen Ansatz.

3) Beweisen sie, dass für $\begin{eqnarray*} v\in \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ stets gilt: $\begin{eqnarray*} ||v||_{\infty} \leq ||v||_{2} \leq ||v||_{1} \leq n*||v||_{\infty} \end{eqnarray*}$
Hier auch leider keine Ansatz.

MfG Maltee

Edit (mY+): Titel modifiziert (Beweis)

01.06.2009, 01:02

tigerbine

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RE: Kondition, Abschätzung und Beweis von Normungleichung
1. Welche Norm sollst du denn nehmen?

2. Dann schlag deren Definition nach, die Frage ist dann überflüssig.

3. Da hilft ja mal die Boardsuche. [WS] Lineare Gleichungssysteme 1

4. Äquivalenz von Normen

01.06.2009, 02:23

WebFritzi

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RE: Kondition, Abschätzung und Beweis von Normungleichung

Zitat:

Original von Maltee
3) Beweisen sie, dass für $\begin{eqnarray*} v\in \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ stets gilt: $\begin{eqnarray*} ||v||_{\infty} \leq ||v||_{2} \leq ||v||_{1} \leq n*||v||_{\infty} \end{eqnarray*}$
Hier auch leider keine Ansatz.

Das ist schade. Die äußeren Ungleichungen sind nämlich trivial. Die mittlere kann man z.B. mit vollständiger Induktion über n beweisen.

01.06.2009, 11:22

Maltee

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RE: Kondition, Abschätzung und Beweis von Normungleichung

Zitat:

Original von tigerbine
2. Dann schlag deren Definition nach, die Frage ist dann überflüssig.

Worunter muss ich den da gucken? Weiß nicht wie ich die deff. finden soll.

01.06.2009, 12:39

tigerbine

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RE: Kondition, Abschätzung und Beweis von Normungleichung
Vielleicht nach Matrix-Normen.... Unter was wolltest du sonst nachschlagen?