Quadriken |
29.05.2009, 18:27 | Hanz im Pech | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Quadriken ich hätte zu folgender Aufgabe mal eine Frage: "Bestimmen Sie alle affine Quadriken im IR², die die vier Punkte (1,1), (1,-1), (-1,1) und (-1,-1) enthalten und geben Sie jeweils eine Affinität an, die die Quadrik in ihre affine Normalform überführt." Hier weiß ich nicht so recht was ich tun soll, und wie ich prüfe, ob eine Quadrik diese 4 Punkte enthält. Hoffe jemand kann mir weiterhelfen! |
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30.05.2009, 23:30 | Hanz im Pech | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Keine Ideeeeeen? |
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31.05.2009, 14:24 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Eine Quadrik im ist von der Form . Setze die gegebenen Punkte ein und ziehe die Konsequenzen aus dem Gleichungssystem. Du solltest herausbekommen, dass einige Koeffizienten Null werden. |
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31.05.2009, 19:35 | Hanz im Pech | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Etwa so: Für (1,1): a + b + c + d + e + f = 0 Für (1,-1): a + b - c + d - e + f = 0 Für (-1,1): a + b - c - d + e + f = 0 Für (-1,-1):a + b + c - d - e + f = 0 Jetzt habe ich doch aber mehr Variablen als Gleichungen Oder kann ich jetzt sagen b und f müssen 0 sein, da sie linear abhängig sind? |
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01.06.2009, 20:04 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Diese Begründung ist überhaupt nicht sinnvoll. Dann müssten ja einfach in allen möglichen Gleichungssystem einfach immer alle Variablen Null sein. Subtrahiere die vierte von der ersten und die dritte von der zweiten Gleichung. Was kommt heraus? Setze das in alle Gleichungen ein. Du wirst sehen, dass dann nur zwei Gleichungen übrig bleiben. Subtrahiere dann die eine von der anderen. Wenn du das wieder einsetzt, bleibt nur noch eine Gleichung übrig und du kannst die Kegelschnitte schon mal wesentlich vereinfach hinschreiben. |
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02.06.2009, 17:35 | Hanz im Pech | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
So, also ich erhalte dann ja: Addiere ich diese beiden dann folgt, dass d=0 und ebenso e=0. Einsetzen in die Gleichungen: I: a + b + c + f = 0 II: a + b - c + f = 0 III: a + b - c + f = 0 IV: a + b + c + f = 0 Ist das erstmal so wie du es gemeint hast? |
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02.06.2009, 18:32 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja. III bzw. IV kannst du wegschmeißen, da sie identisch zu II bzw. I sind. Subtrahiere dann II von I und schaue, was passiert. |
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02.06.2009, 19:24 | Hanz im Pech | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, dann: I: a + b + c + f = 0 II: a + b - c + f = 0 Nun: Daraus folgt also, dass auch c =0 ist. Heißt das dann, dass die Quadriken die Form Q: ax² + by² + f = 0 haben? |
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02.06.2009, 19:30 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, allerdings kannst du ja nun noch einsetzen. |
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02.06.2009, 19:38 | Hanz im Pech | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das wäre dann ja eine, warum steht aber in der Aufgabe, dass es mehrere gibt? Und f=-x²-y² kann ich auch nicht wirklich klassifizieren (also als Parabel, Hyperbel oder so). Könntest du mir noch dabei helfen, was sie mit der Affinität meinen, um eine affine Normalform zu berechnen? |
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02.06.2009, 20:34 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das wäre nicht eine. Du kannst ja in die Parameter und beliebig wählen. Dementsprechend wären das verdammt viele Quadriken. Wie sieht denn die affine Normalform aus? Musst du dafür hier noch transformieren? |
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02.06.2009, 22:49 | Hanz im Pech | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vorweg: Warum hast du rechts jetzt a+b geschrieben? Ist es richtig, dass die affine Normalform x²+y² = 1 heissen würde? Ich glaube man müsste transformieren und zwar mit , wobei Dann würde ich jetzt die Matrix A aufstellen: => RangA=2 und die EW lauten a und b. Die erweiterte Matrix von A hat den Rang 3, also kommen als Klassifikationen nur Hyperbeln und Ellipsen in Frage, mit Hyperbel: x²-y²=1 Ellipse: x²+y²=1 Soweit ok, oder bin isch aufm Holzweg? |
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04.06.2009, 00:01 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Weil nach Einsetzen von nunmal die Gleichung übrig bleibt.
Das wäre die affine Normalform für eine Ellipse. Es gibt aber noch mehr.
Die Matrix ist schön und gut. Aber mit dieser Matrix überführst du deine Quadrik nicht in affine Normalform. Mache eine Fallunterscheidung: 1. Fall: . Dann ist die Quadrik beschrieben durch , also . Das ist ein sich schneidendes Geradenpaar. 2. Fall: . Dann ist und die Quadrik beschrieben durch . Mache nun eine Fallunterscheidung nach den Vorzeichen von und . Die Transformation, die diese Quadrik in Normalform überführt, ist übrigens die Abbildung , welche durch die Matrix bezüglich der Standardbasis gegeben ist. |
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