Inverse mittels Cholesky

29.05.2009, 20:30

Natalie1988

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Inverse mittels Cholesky

Hallo.

Ich soll etwas in Matlab programmieren. Die Cholesky-Zerlegung einer Matrix A habe ich schon hinbekommen.
Nun soll ich mithilfe dieser Zerlegung die Inverse von A berechnen. Ich habe keine Ahnung, wie! Habe schon überall gesucht, aber nichts passenden für mich gefunden. Wäre schön, wenn ihr wüsstes, wie das geht.
Wie man normal ne Inverse berechnet, weiß ich ja. Aber mithilfe der Zerlegung?

29.05.2009, 20:33

tigerbine

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RE: Inverse mittels Cholesky
wie berechnet man denn die Inverse einer unteren Dreiecksmatrix?

29.05.2009, 21:02

Natalie1988

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RE: Inverse mittels Cholesky
mh... weiß ich nicht... wie? ich kenne jetzt die Möglichkeit mit der Adjunkten

29.05.2009, 21:22

Natalie1988

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RE: Inverse mittels Cholesky
Und was bringt es mir dann, wenn ich nur L als meine untere Dreiecksmatrix vom Cholesky invertiere?

29.05.2009, 21:30

tigerbine

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RE: Inverse mittels Cholesky
Naja, wie zerlegt denn cholesky....

29.05.2009, 21:36

Natalie1988

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RE: Inverse mittels Cholesky
Ja, ich habe dann eine untere Dreiecksmatrix L, für die gilt, dass L*L'=A ist. (L' ist die transponierte von L, A die Ausgangsmatrix)

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29.05.2009, 21:38

tigerbine

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RE: Inverse mittels Cholesky
Und was ist dann die Inverse der transponierten Matrix?

29.05.2009, 21:40

Natalie1988

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RE: Inverse mittels Cholesky
Meinst die Inverse von L' ?
Das müsste ja wieder ne obere Dreiecksmatrix sein, da L' eine Dreiecksmatrix ist. Und dann?

29.05.2009, 21:42

tigerbine

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RE: Inverse mittels Cholesky
Wenn du $\begin{eqnarray*} L^{-1} \end{eqnarray*}$ kennst, wie sieht dann $\begin{eqnarray*} (L^T)^{-1} \end{eqnarray*}$ aus? Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.05.2009, 21:45

Natalie1988

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RE: Inverse mittels Cholesky
Weiß ich nicht.
Aber ich kenne ja nichtmal $\begin{eqnarray*} L^{-1} \end{eqnarray*}$ .

29.05.2009, 21:49

tigerbine

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RE: Inverse mittels Cholesky
Wenn du es kennen würdest. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Denk mal darüber nach.

http://books.google.de/books?id=F8wgsMOE...esult&resnum=10

29.05.2009, 21:50

Natalie1988

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RE: Inverse mittels Cholesky
Aber, wäre $\begin{eqnarray*} (L^{T})^{-1} \end{eqnarray*}$ nicht dasselbe wie $\begin{eqnarray*} (L^{-1})^T \end{eqnarray*}$ ?

29.05.2009, 21:57

tigerbine

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RE: Inverse mittels Cholesky
Ganz heiß. Und damit sind wir fertig.

29.05.2009, 21:59

Natalie1988

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RE: Inverse mittels Cholesky
Wie versteh ich das jetzt?

Ist also $\begin{eqnarray*} L^{-1} * (L^{T})^{-1} = A^{-1} \end{eqnarray*}$ ??

29.05.2009, 22:02

Natalie1988

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RE: Inverse mittels Cholesky
Habe das grad ausprobiert. Es stimmt nicht.

29.05.2009, 22:03

tigerbine

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RE: Inverse mittels Cholesky
Du hast

$\begin{eqnarray*} A=LL^T \end{eqnarray*}$

Du berechnest

$\begin{eqnarray*} L^{-1} \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} (L^{-1})^TL^{-1}LL^T =(L^{T})^{-1}L^T = I \end{eqnarray*}$

29.05.2009, 22:23

Natalie1988

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RE: Inverse mittels Cholesky
Also, vielen Dank. Jetzt klappt es smile

smile

. Muss es nur nochmal richtig verstehen

29.05.2009, 22:26

tigerbine

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RE: Inverse mittels Cholesky
Pseudocode ist in dem Link!

29.05.2009, 22:32

Natalie1988

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RE: Inverse mittels Cholesky
Welcher Link?

29.05.2009, 22:33

tigerbine

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RE: Inverse mittels Cholesky
post

29.05.2009, 22:44

Natalie1988

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RE: Inverse mittels Cholesky

Zitat:

Original von tigerbine
Du hast

$\begin{eqnarray*} A=LL^T \end{eqnarray*}$

Du berechnest

$\begin{eqnarray*} L^{-1} \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} (L^{-1})^TL^{-1}LL^T =(L^{T})^{-1}L^T = I \end{eqnarray*}$

Habe da jetzt noch eine Frage.
Sei jetzt B die Inverse von A.
Ich habe das jetzt von dir so aufgenommen.
Wir wissen ja, dass $\begin{eqnarray*} A=LL^T \end{eqnarray*}$ ist, und $\begin{eqnarray*} B=A^{-1} \end{eqnarray*}$ .
Also ist $\begin{eqnarray*} AB=E=BA \end{eqnarray*}$ .

Du bist jetzt ja von $\begin{eqnarray*} BA=E \end{eqnarray*}$ ausgegangen.

$\begin{eqnarray*} BA=E <=> A^{-1}A=E <=> (LL^T)^{-1}(LL^T)=E <=> L^{-1}(L^T)^{-1}LL^T <=> L^{-1}(L^{-1})^TLL^T \end{eqnarray*}$ .

So, nun ist das aber was anders, was du rauskriegst. Du kriegst ja für die Inverse

$\begin{eqnarray*} B = (L^{-1})^TL^{-1} \end{eqnarray*}$ raus, was ja auch stimmt. Aber verstehe nicht, wie du drauf kommst. Will das ja auch verstehen.

29.05.2009, 22:49

tigerbine

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RE: Inverse mittels Cholesky
Was ist denn die Frage.... verwirrt

verwirrt

http://de.wikipedia.org/wiki/Regul%C3%A4...ix#Rechenregeln

Du hast falsch aufgelöst.

29.05.2009, 22:53

Natalie1988

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RE: Inverse mittels Cholesky
Stimmt, vielen Dank. Habs jetzt kapiert smile

smile

.

29.05.2009, 22:56

tigerbine

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RE: Inverse mittels Cholesky
Viel Erfolg beim Programmieren. Wink

Wink

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