Komplexe Zahlen

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Speedy89 Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen
Hallo, als Prüfungsvorbereitung möchte ich gerne folgende Aufgaben lösen:
1) Man führe

(j+z)/(j-z) = 2z

in eine quadratische Gleichung über und löse diese mittels quadratischer Ergänzung
Ich dachte nur mit (j+z) auf beiden Seiten der Gleichung zu mutliplizieren und bekomme (Vorraussetzung: j*j = -1)

[(j+z)² / (-1 -z²)] = 2z * (j+z)
(j+z)² / (-1 -z²)] = 2jz +2z² ---> multipliziert mit (-1 -z²)
liefert
(j+z)² = 2jz +2z² * (-1-z²)
-1 +2jz + z² = -2jz - 2jz^3 -2z² -2z^4
-1 +2jz + z² +2jz -2jz^3 -2z² -2z^4 = 0
-2z^4 -2z -2jz^3 +4jz -1 = 0

Stimmt das soweit ?
Wie mache ich daraus jetzt eine quadratische Gleichung ??


Aufgabe 2)
Ich möchte die Lösung der Gleichung z^6 + 2z^3 +2 = 0 lösen.
Mir fehlt leider der Ansatz, wie ich daraus eine quadratische Gleichung machen kann.
Wenn ich nun z^3 = x substituieren würde, komme ich irgendwie nicht weiter.

Ich bitte um eure Hilfe.
Lg Speedy89
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RE: Komplexe Zahlen
Zitat:
Original von Speedy89
Ich dachte nur mit (j+z) auf beiden Seiten der Gleichung zu mutliplizieren

Das führt offensichtlich nicht zum Ziel. Besser ist wohl, mit (j-z) zu multiplizieren und dann die quadratische Ergänzung zu nehmen.

Zitat:
Original von Speedy89
Wenn ich nun z^3 = x substituieren würde, komme ich irgendwie nicht weiter.

Wo ist denn dann das Problem? verwirrt
Speedy89 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1)
Dann bekomme ich
-2z^4 +2z² - 4j²z² +4jz^3 - 2jz = 0
und nun ?

Zu 2)
dann habe ich dastehen:
x^3 + 2 + 2
Und dann weiß ich nicht weiter ...
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Zitat:
Original von Speedy89
Zu 1)
Dann bekomme ich
-2z^4 +2z² - 4j²z² +4jz^3 - 2jz = 0

Wirklich? verwirrt Damit wir uns nicht mißverstehen. Du solltest in der Gleichung
Nur mit (j-z) multiplizieren. z^4 bzw. z³-Terme können da gar nicht auftreten.

Zitat:
Original von Speedy89
dann habe ich dastehen:
x^3 + 2 + 2

Mit Sicherheit nicht. Was wird denn aus z^6 wenn z³ = x gesetzt wird?
Speedy89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,
dann folgt daraus
j+z = 2z(j-z)
j+z = 2jz - 2z²
-2z²+2jz-j+z
-2z²+j(2z-1)+z

Weiß an der Stelle nicht so richtig was ich machen soll.

Sonst hatten wir zu Anfang immer schon den kompletten Ausdruck
(j+z)/(j-z) = 2z
mit dem gleichen Therm wie im Nenner nur mit vertauschten Vorzeichen erweitert.
Damit j*j = -1 ergibt und rausfällt.
Warum aber dieser Ansatz hier ??

Ja stimmt,
bei der Aufgabe 2 habe ich tatsächlich Unsinn gemacht
z^6 + 2z^3 +2 = 0
dann setze ich z^3 = x und erhalte:
x² + 2z + 2 = 0 und kann diese mittels quadr. ergänzung lösen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Speedy89
-2z²+2jz-j+z

Hier ist ein Vorzeichenfehler drin. Klammere in dem Term bei den Termen mit z das z aus. Dann kannst du die quadratische Ergänzung bestimmen.

Zitat:
Original von Speedy89
Sonst hatten wir zu Anfang immer schon den kompletten Ausdruck
(j+z)/(j-z) = 2z
mit dem gleichen Therm wie im Nenner nur mit vertauschten Vorzeichen erweitert.
Damit j*j = -1 ergibt und rausfällt.

Hast du mal ein Beispiel?
 
 
Speedy89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, hier ein Beispiel:
(1+2j) / (7+4j) = [(1+2j) * (7-4j)] / [(7+4j) * (7-4j)]
-->
(7 - 4j + 14j + 8) / (49+16) [man beachte j*j =-1]
-->
(15+10j)/65
-->
3/13 + 2/13j als Lösung.
Lg Speedy89

Zu 1)
Dann würde sich ergeben:
z(-2z +2j -1) -j = 0 ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Speedy89
Ok, hier ein Beispiel:
(1+2j) / (7+4j) = [(1+2j) * (7-4j)] / [(7+4j) * (7-4j)]

Der Unterschied ist offensichtlich der, daß du hier eine komplexe Zahl hast, die lediglich umgeformt wird. Bei deiner Aufgabe geht es aber darum, eine Gleichung zu lösen.

Zitat:
Original von Speedy89
Dann würde sich ergeben:
z(-2z +2j -1) -j = 0 ?

Da hast du mich falsch verstanden. Du sollst nur bei den Termen mit z (also nicht mit z²) das z ausklammern.
Speedy89 Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst also:
-2z² + z * (2j -1) -j = 0
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt noch durch 2 dividieren und dann die quadratische Ergänzung bestimmen. Die Methode sollte eigentlich aus der Schule bekannt sein.

EDIT: Natürlich sollte man durch -2 dividieren. smile
Speedy89 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
vielen Dank nochmal.
Hat mir sehr geholfen.
Lg Speedy 89 Tanzen
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