Komplexe Zahlen |
30.05.2009, 11:29 | Speedy89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Komplexe Zahlen 1) Man führe (j+z)/(j-z) = 2z in eine quadratische Gleichung über und löse diese mittels quadratischer Ergänzung Ich dachte nur mit (j+z) auf beiden Seiten der Gleichung zu mutliplizieren und bekomme (Vorraussetzung: j*j = -1) [(j+z)² / (-1 -z²)] = 2z * (j+z) (j+z)² / (-1 -z²)] = 2jz +2z² ---> multipliziert mit (-1 -z²) liefert (j+z)² = 2jz +2z² * (-1-z²) -1 +2jz + z² = -2jz - 2jz^3 -2z² -2z^4 -1 +2jz + z² +2jz -2jz^3 -2z² -2z^4 = 0 -2z^4 -2z -2jz^3 +4jz -1 = 0 Stimmt das soweit ? Wie mache ich daraus jetzt eine quadratische Gleichung ?? Aufgabe 2) Ich möchte die Lösung der Gleichung z^6 + 2z^3 +2 = 0 lösen. Mir fehlt leider der Ansatz, wie ich daraus eine quadratische Gleichung machen kann. Wenn ich nun z^3 = x substituieren würde, komme ich irgendwie nicht weiter. Ich bitte um eure Hilfe. Lg Speedy89 |
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30.05.2009, 11:45 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Komplexe Zahlen
Das führt offensichtlich nicht zum Ziel. Besser ist wohl, mit (j-z) zu multiplizieren und dann die quadratische Ergänzung zu nehmen.
Wo ist denn dann das Problem? |
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30.05.2009, 11:56 | Speedy89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zu 1) Dann bekomme ich -2z^4 +2z² - 4j²z² +4jz^3 - 2jz = 0 und nun ? Zu 2) dann habe ich dastehen: x^3 + 2 + 2 Und dann weiß ich nicht weiter ... |
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30.05.2009, 13:43 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wirklich? Damit wir uns nicht mißverstehen. Du solltest in der Gleichung Nur mit (j-z) multiplizieren. z^4 bzw. z³-Terme können da gar nicht auftreten.
Mit Sicherheit nicht. Was wird denn aus z^6 wenn z³ = x gesetzt wird? |
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30.05.2009, 14:00 | Speedy89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, dann folgt daraus j+z = 2z(j-z) j+z = 2jz - 2z² -2z²+2jz-j+z -2z²+j(2z-1)+z Weiß an der Stelle nicht so richtig was ich machen soll. Sonst hatten wir zu Anfang immer schon den kompletten Ausdruck (j+z)/(j-z) = 2z mit dem gleichen Therm wie im Nenner nur mit vertauschten Vorzeichen erweitert. Damit j*j = -1 ergibt und rausfällt. Warum aber dieser Ansatz hier ?? Ja stimmt, bei der Aufgabe 2 habe ich tatsächlich Unsinn gemacht z^6 + 2z^3 +2 = 0 dann setze ich z^3 = x und erhalte: x² + 2z + 2 = 0 und kann diese mittels quadr. ergänzung lösen. |
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30.05.2009, 14:51 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hier ist ein Vorzeichenfehler drin. Klammere in dem Term bei den Termen mit z das z aus. Dann kannst du die quadratische Ergänzung bestimmen.
Hast du mal ein Beispiel? |
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30.05.2009, 16:35 | Speedy89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, hier ein Beispiel: (1+2j) / (7+4j) = [(1+2j) * (7-4j)] / [(7+4j) * (7-4j)] --> (7 - 4j + 14j + 8) / (49+16) [man beachte j*j =-1] --> (15+10j)/65 --> 3/13 + 2/13j als Lösung. Lg Speedy89 Zu 1) Dann würde sich ergeben: z(-2z +2j -1) -j = 0 ? |
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30.05.2009, 17:33 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Unterschied ist offensichtlich der, daß du hier eine komplexe Zahl hast, die lediglich umgeformt wird. Bei deiner Aufgabe geht es aber darum, eine Gleichung zu lösen.
Da hast du mich falsch verstanden. Du sollst nur bei den Termen mit z (also nicht mit z²) das z ausklammern. |
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30.05.2009, 18:14 | Speedy89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du meinst also: -2z² + z * (2j -1) -j = 0 |
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30.05.2009, 19:46 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt noch durch 2 dividieren und dann die quadratische Ergänzung bestimmen. Die Methode sollte eigentlich aus der Schule bekannt sein. EDIT: Natürlich sollte man durch -2 dividieren. |
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31.05.2009, 21:46 | Speedy89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, vielen Dank nochmal. Hat mir sehr geholfen. Lg Speedy 89 |
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