Lösen einer Gleichung aus der Kongruenzrechnung (Zahlentheorie) |
30.05.2009, 20:08 | Pejosh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Lösen einer Gleichung aus der Kongruenzrechnung (Zahlentheorie) ich soll eine Aufgabe lösen, von der ich gar nicht weiß, wie ich sie angehen soll. Sie lautet: Geben Sie alle Lösungen der folgenden Gleichung an: . Kann ich die Gleichung in die folgenden zwei Gleichungen unterteilen? Da ich den Chinesischen Restsatz nicht wirklich verstanden habe, und mir alle immer sagen, dass ich das damit lösen muss, stehe ich total auf dem Schlauch. Bin für jede Anregung sehr dankbar! LG, Pejosh |
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31.05.2009, 10:01 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Lösen einer Gleichung aus der Kongruenzrechnung (Zahlentheorie)
Das ist nicht ausreichend. Wenn eine dieser beiden Kongruenzen erfüllt ist, ist natürlich die zu lösende Kongruenz erfüllt. Wegen 77 = 7*11 musst du aber zusätzlich folgende Fälle betrachten: und bzw. und Auf diese simultanen Kongruenzen kannst du den chinesischen Restesatz anwenden. Gesunder Menschenverstand reicht aber auch. |
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31.05.2009, 12:21 | Pejosh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Erstmal vielen Dank für deine Hilfe. So etwas hatte ich mir gedacht, aber nicht so ganz verstanden wieso. Wenn ich das aber erstmal so mache, dann nehme ich mir mal deine ersten 2 Gleichungen vor. und ist ja gleichbedeutend mit und Mit dem chinesischen Restsatz folgt dann doch: und und wählbar und wählbar Dann folgt nach dem Satz: Aber jetzt weiß ich nicht, wie daraus die Lösung folgt. Schließlich soll ich ja alle x angeben. |
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31.05.2009, 14:04 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Kongruenz bedeutet doch, 77 teilt . Dafür gibt es 4 Möglichkeiten: (1) 77 teilt x -5 (2) 77 teilt x - 3 (3) 7 teilt x -5 und 11 teilt x -3 (4) 11 teilt x -5 und 7 teilt x -3 Jeder Fall trägt zur gesamten Lösungsmenge bei. Fall (1) hat z. B. die Lösungen mit n ganzzahlig.
Bei der Anwendung des chinesischen Restesatzes hast du und vertauscht. Das schadet ausnahmsweise nicht, weil es der Vertauschung von (3) und (4) entspricht. Die Lösungen von (3) und (4) haben auch die Form: Wegen ergibt das folgende Lösungen für (4): Bleibt nur noch, (2) und (3) zu ergänzen. |
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31.05.2009, 16:31 | Pejosh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt hab ich verstanden, warum es diese Möglichkeiten gibt! Wenn ich jetzt mal deine Bezeichnung übernehme, folgt jeweils: (1) (2) (3) (4) mit . Ich muss diese 4 Gleichungen doch sicherlich noch in eine basteln, oder? Bleibt nur die Frage wie. Einfach addieren ist wohl nicht erlaubt. |
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31.05.2009, 16:34 | Pejosh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da ich bei Vertauschen von und erhalte und dies dann ja auch so umformen kann, wie du es gemacht hattest. |
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31.05.2009, 17:16 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist jetzt korrekt. Die vier Gleichungen kann man nicht zusammenfassen. Man kann sie höchstens knapper schreiben: mit und |
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31.05.2009, 21:38 | Pejosh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso, dann lass ich das einfach so stehen. Ich kann es aber auch noch so umformen, oder? mit |
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01.06.2009, 09:07 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So kann man es auch schreiben. |
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