Homogenität von Funktionen - Habe echte Probleme!

01.06.2009, 17:46

maka1989

Homogenität von Funktionen - Habe echte Probleme!

Hey Leute,

ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich echt nicht weiß, wie ich an sie herangehen soll.

In den Übungen haben wir x und y immer mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} /lambda \end{eqnarray*}$ multipliziert haben.

Könnt ihr mir vielleicht helfen?

Vielen Dank und liebe Grüße

01.06.2009, 19:57

Mathespezialschüler

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Bei a) kannst du erstmal Logarithmengesetze anwenden und solltest dann auf ein homogenes Polynom in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ kommen.

Bei b) einfach mal $\begin{eqnarray*} (\lambda x,\lambda y,\lambda z) \end{eqnarray*}$ anstelle von $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ einsetzen und gucken was passiert. Für welche $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ kannst du dann genau das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ausklammern? Was vermutest du, was $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ sein müssen? Danach kannst du das versuchen zu beweisen.

02.06.2009, 11:28

maka1989

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zu a) kannst du mir eventuell sagen, was für Logarithmengesetze du meinst. Wär echt ne große Hilfe!

02.06.2009, 11:43

maka1989

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$\begin{eqnarray*} f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\frac{\lambda x^b}{\lambda x}+6(\lambda x)(\lambda y)(\lambda z)-\frac{2}{3} (\lambda z)^2(\lambda z)^a \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\frac{\lambda x^b}{\lambda x}+6*\lambda^3*x*y*z- \frac{2}{3} (\lambda z)^2(\lambda z)^a \end{eqnarray*}$

stimmt das so weit? Und weiter komm ich irgendwie nicht!

Wisst ihr weiter?

Liebe Grüße

02.06.2009, 13:44

Frank Xerox

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Zitat:

Original von maka1989
zu a) kannst du mir eventuell sagen, was für Logarithmengesetze du meinst. Wär echt ne große Hilfe!

Na ja, welche schon? So schrecklich viele kommen ja nicht in Frage...

Probier's doch mal mit: $\begin{eqnarray*} \ln(a^b)=b\ln(a) \ \mbox{und} \ \ln\left(\frac ab\right)=\ln(a)-\ln(b) \end{eqnarray*}$

02.06.2009, 14:16

maka1989

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hey,
hab deine Gesetze mal angewand (oder angewendet ?) und es kam folgendes raus (falls es richtig ist):

$\begin{eqnarray*} -ln (\lambda y)^2 + 2(\lambda x)(\lambda y)^3 + 2*ln (\lambda y) \end{eqnarray*}$

jetzt muss es aber irgendwie weitergehen, aber wie?

02.06.2009, 14:26

Frank Xerox

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Zitat:

Original von maka1989
hey,
hab deine Gesetze mal angewand (oder angewendet ?) und es kam folgendes raus (falls es richtig ist):

$\begin{eqnarray*} -ln (\lambda y)^2 + 2(\lambda x)(\lambda y)^3 + 2*ln (\lambda y) \end{eqnarray*}$

jetzt muss es aber irgendwie weitergehen, aber wie?

Ich möchte mich nicht mit fremden Federn schmücken lassen. Also: Das sind ganz einfach die Rechenregeln für den Logarithmus, die jedem Mittelstufenschüler bekannt sein sollten.

Bevor Du mit dem Lambda losgaloppierst solltest Du (damit's erstmal übersichtlicher bleibt) diese Rechenregeln auch anwenden und feststellen dass laut dieser gilt:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot \ln( y)=\ln(y^2) \end{eqnarray*}$

Der Term sollte sich damit deutlich vereinfachen lassen.

02.06.2009, 14:36

maka1989

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so hab ich jetzt weitergemacht:

= $\begin{eqnarray*} -ln(\lambda y)^2 + 2*\lambda^4*x*y + 2ln(\lambda) + 2ln(y)<br /> \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} -2ln(\lambda y) + 2*\lambda ^4*x*y + 2ln(\lambda ) + 2ln(y) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 2*\lambda ^4 *x*y \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \lambda ^4 (2*x*y) \end{eqnarray*}$

also hoffentlich stimmt das jetzt!!!

02.06.2009, 14:54

Frank Xerox

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Zitat:

Original von maka1989
also hoffentlich stimmt das jetzt!!!

Na ja, fast.

Dir ist der Exponent vom y unterwegs verloren gegangen.

Es gilt also: $\begin{eqnarray*} f(x,y)=2xy^3 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^4 f(x,y) \end{eqnarray*}$

02.06.2009, 15:06

maka1989

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Also Antwort schreibe ich dann also:

Die Funktion f ist homogen vom Grad r=4 (stimmt schon mal, oder?)

Aber wie sieht es mit dem 2. Teil von a) aus:
"... und wie wirkt sich eine Halbierung von x und y auf den Funktionswert aus?"

02.06.2009, 15:47

Frank Xerox

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Zitat:

Original von maka1989
Aber wie sieht es mit dem 2. Teil von a) aus:
"... und wie wirkt sich eine Halbierung von x und y auf den Funktionswert aus?"

Das ist jetzt nicht Dein Ernst oder!?!
Homogene Funktionen sind doch gerade dadurch charakterisiert, dass sich Fragen dieser Art beantworten lassen.

02.06.2009, 16:06

maka1989

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:-) ich hab nochmal in meinem Kopf gekramt und bin auf folgende Lösung gekommen:

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ =0,5 --> (0,5)^4 = 1/16

Somit würde eine Halbierung von x und y den Funktionswert "vereinsechzehntelfachen"

Right???

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