Integration mit Grenze "unendlich"

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Student2009 Auf diesen Beitrag antworten »
Integration mit Grenze "unendlich"
Hallo!

Ich muss folgendes Integral berechnen:



Es gab einen Tip, dass Substitution verwendet werden soll.
Gegen Ende taucht dann e^{\infty} auf, wie kann ich damit rechnen??

Danke!!!
Rare676 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dann wende doch mal den Tipp an. Du musst doch ne Idee haben. Hier kann man doch eigentlich nur eine Sache substituieren ...
Student2009 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Entschuldige, ich habe mich unklar ausgedrückt.
Die ersten Schritte habe ich geschaft, das war kein Problem.

Aber ich kann gegen Ende der Rechnung einfach nichts mit dem anfangen.
Stehen habe ich als letztes folgendes (schon wieder rücksubstituiert): 2*

Nun müsste ich die Grenzen einsetzen, und das unendlich verwirrt mich.

Danke!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Dann schreibe das uneigentliche Integral so hin, wie es definiert ist:

.

Dein ausgerechnetes Ergebnis ist übrigens falsch. Was hast du denn substituiert?
Student2009 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Ich habe u=x² substituiert.

Bei erneutem Überprüfen bin ich nun auf folgendes Zwischenergebnis gekommen. Ich habe x und auch 1/2 vor das Integral gezogen. Stimmt das nun?
: []. Hier muss ich nun (vorausgesetzt dieses Zwischenergebnis stimmt) die Grenzen einsetzen. Aber wie gehe ich mit dem "unendlich" um? Was heißt denn zB e^-?

Vielen Dank!
Rare676 Auf diesen Beitrag antworten »

Das kommt davon wenn man seine Aufgabe nicht vernünftig hinschreibt.
Du hast dein dx nicht richtig substituiert.





Umstellen nach dx und dann einsetzen, kürzen und dann vernünftig (sorgfältig) weitermachen Augenzwinkern
 
 
Student2009 Auf diesen Beitrag antworten »

Daran liegt es leider nicht, das habe ich gemacht.

dx=

Das Zwischenergebnis stimmt also nicht? Vielleicht habe ich einen Fehler gemacht bei ner kleinen Rechnung, zum Beispiel beim vor das Integral ziehen. Bitte sag mir wie es korrekt heißen müsste, damit ich nach meinem Fehler suchen kann.

Bis hier hin müsste es stimmen:
x*

Wie mache ich am besten weiter? Ich weiß, das ist schon fast eine grundlegende Frage zum Thema Integration, aber ich hab da echt meine Probleme...

Danke!!!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du substituierst, dann musst du zuerst alle ' durch durch 's ersetzen, danach darf man weiter rechnen. Das war ja vorher deine Integrationsvariable. Es kann also nicht einfach zu einer Konstanten werden! Das, was du gemacht hast, ist also nicht korrekt.

Richtig, aber trotzdem noch etwas schlampig, lautet die Substituion so: . Dann ist

.

Und wenn man es ganz exakt machen wollte, dann müsste das Ganze so aussehen:

Die Funktion mit ist stetig differenzierbar mit . Außerdem ist , definiert durch , stetig. Mit der Substitutionsregel folgt dann

.
Student2009 Auf diesen Beitrag antworten »

Also kann ich das x doch nicht vor das Integral ziehen? Ich war ja auch erst gar nicht auf die Idee gekommen, aber es schien mir nach einem guten Tip.

Leider verstehe ich deine Substitution nicht ganz Mathespezialschüler.
Mein letztes Zwischenergebnis war aber doch korrekt?

Vielleicht ist meine Heransgehensweise nicht ganz exakt, das kann schon sein. Was ich immer mache ist folgendes:
- u wählen, ableiten und daraus dx bestimmen.
- Im Integral das Substituierte durch u und dx durch den neuen Term ersetzen.
-> An dem Punkt habe ich mein letztes Ergebnis schon hingeschrieben gehabt (s. mein vorheriger Post).
- Das Integral möglcihst vereinfachen und integrieren (hier hakt es regelmäßig!)
- zurücksubstituieren, Grenzen einsetzen, fertig.

Du scheinst aber etwas anders gemacht zu haben? Warum hast du das dx so lange im Integral und warum ist deine obere Grenze auf einmal eine Wurzel?



Also, noch mal meine Bitte. Kann mir jemand (in einfacher Art und Weise) sagen ob mein letztes Zwischenergebnis stimmt und wie ich von da weiter mache??

VIelen Dank!!!
Rare676 Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Fehler war einfach, dass du dieses x, dass du vor das Integral gezogen hattest nicht mit dem durch die substitution entstanden x gekürzt hast...

Das war der grobe Fehler, wenn man es natürlich so genau nimmt wie MSS, dann fehlt noch mehr.
Student2009 Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas vor das Integral zu ziehen ist für mich relativ neu. Ich kannte das bis jetzt nur mit einer Konstanten wie bspw. 2*.
Also weiß ich immer noch nicht wie ich am Besten weiter mache.

Noch mal, hier bin ich jetzt, das müsste auf jeden Fall noch stimmen:


Dann bekam ich den Tip das x vor das Integral zu ziehen. Kann ich das mit dem "2x" dann nicht auch machen??
Dann hätte ich ja nur noch das Integral von e^{-u} was einfach zu integrieren wäre.

Danke für eure Geduld!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, nochmal:

Wenn du substituierst, dann kannst du das mit deiner Methode machen, das ist relativ üblich, aber: Du musst alle und das heißt auch wirklich alle ' durch 's ersetzen, sonst passieren genau solche Fehler. Wenn du das tust, dann kommt auch das Richtige heraus.

Da steht auf einmal ein als Grenze, weil man beim Substituieren auch die Grenzen mitsubstieren muss. Und wenn von bis läuft, dann läuft eben von bis .

edit: Ich hatte natürlich substituiert, da hätte also auch stehen müssen. Hab es oben editiert.
Student2009 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ich ersetze doch nur durch u, was ich substituieren wollte, also in dem Fall das x². Ich weiß nicht ganz was du meinst. Ich ersetze immer den zu substituierenden Teil =u' und das dx ersetze durch den Term den ich ja in Abh. von du erhalte.

Ich habe jetzt folgendermaßen weiter gemacht:
Nach dem x habe ich auch das 2x vor das Integral gezogen und erhielt folgendes Integral:
.
Vor dem Integral gekürzt:
.

Zurücksubstituiert und Grenzen eingesetzt:
* ^{2} + 1)

Stimmt das jetzt endlich?

Danke!!!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Man muss immer alles ersetzen. Wenn du dir die Substitutionsregel genau angucken würdest, dann würdest du das wahrscheinlich auch erkennen. Das darf man niemals vor das Integral ziehen, sondern man muss erstmal alle ' durch 's ersetzen. Diesmal hast du Glück, weil sich das dann wegkürzt. Aber wenn das mal nicht der Fall ist (und das passiert!), dann bekommst du auch falsche Ergebnisse.
Student2009 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist in diesem Fall das Ergebnis richtig, weil sich das x wegkürzt? Was ist denn ?

Ich weiß immer noch nicht was du meinst mit alle x' durch u' ersetzen. Einfach für jedes x ein u hinschreiben und nach der Integration diese dann wieder rücksubstituieren (also in diesem Fall dann praktisch aus jedem u (das vorher ein x war) ein x² machen?

Danke dir MSS, find ich toll wie du dich hier engagierst!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nicht für jedes ein hinschreiben. Wenn du substituierst, dann ist das für äquivalent zu . Also setzt du für jedes eben ein.

Man darf dann beim Ergebnis nicht einfach unendlich einsetzen. Wie man das richtig macht, habe ich dir ja oben schon mit dem gesagt. Integriere erst von Null bis und lasse dann beim Ergebnis gegen unendlich laufen.
Student2009 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.

Und jetzt kommt wieder meine Frage von ganz zu Anfang:
Was ist e mit unendlich in der Potenz. Egal ob ich jetzt erst die Grenze "r" als Potenz einsetze und diese dann später gegen unendlich laufen lasse oder direkt unendlich einsetze (was mathematisch vielleicht nicht völlig korrekt ist...).
Es bleibt das gleiche Problem. Oder sehe ich was falsch?

Also was ist der allerletzte Schritt wenn ich die Grenzen eingesetzt habe und gegen unendlich laufen lasse?

Danke, noch einmal...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nach der Integration hat man



und dass ist, sollte dir eigentlich bekannt sein.
Student2009 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich habs. Bis auf eine kleine Sache: Wo ist das Quadrat an dem r hin? Denn das würde die negative Potenz doch positiv machen und so ein ganz anderes Ergebnis bringen.

Puh, das war eine schwere Geburt. Aber es waren auch ein paar ganz grundsätzliche Dinge dabei, die mir vermutlich fehlen.
Bitte lass mich daher noch mal ein paar Dinge zusammenfassen und berichtige mich falls etwas nicht stimmt:

Mein Verfahren ist grundsätzlich in Ordnung.
Vor das Integral ziehen kann ich immer die Konstanten (also jeder Buchstabe, außer x falls hinten dx steht oder u falls hinten du steht usw).
Grundsätzlich muss ich immer alles substituieren. Also wenn ich x² substituiere, dann muss ich jedes andere x auch ersetzen. Und dann auch später wieder durch den ursrünglichen Term ersetzen. (?)
Wäre das x vor dem Integral also nicht weg gefallen hätte ich irgendwo Wurzel(u) stehen gehabt und hätte für dieses u dann nach dem Integrieren wieder x² eingesetzt? Richtig?

Übriges haben wir immer das "unendlich" direkt eingesetzt. Unter Mathematikern vielleicht absolut ungern gesehen aber es wurde bei uns geduldet smile


Damit bleibt mir nur noch dir ganz herzlich zu danken. Hast mich in dieser Sache ein gutes Stück weiter gebracht!!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, ich habe das Quadrat vergessen. Es macht aber die negative Potenz nicht positiv, denn dort steht dann

.

ist aber negativ (beachte den Unterschied zu !).

Du kannst nach der Integration wieder durch ersetzen. Wenn du aber bei einem bestimmten Integral substituierst, dann musst du das nicht unbedingt machen.
Student2009 Auf diesen Beitrag antworten »

Damit kann dieses Thema hier geschlossen werden.

Danke an alle Helfer!!
Patriot Auf diesen Beitrag antworten »

Man erkennt doch eigentlich ganz schnell, was die Stammfunktion ist..



EDIT: Vorzeichenfehler, es muss heißen:


danke klarsoweit
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich Es ist immer wieder erstaunlich, wie man es schafft, bei Integration einer positiven Funktion auf ein negatives Ergebnis zu kommen.
Patriot Auf diesen Beitrag antworten »

so habs editiert, jetzt stimmts
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