duale Basis

01.06.2009, 20:29

smiiile

duale Basis

Hallo,
ich hänge gerade an dieser Aufgabe.
Es ist folgendes gegeben:

- $\begin{eqnarray*} V =\mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ und u,v,w Vektoren aus V,

- $\begin{eqnarray*} e_x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , e_y = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,e_z = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, u_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} , v= v_x e_x + v_y e_y + v_z e_z \end{eqnarray*}$

- $\begin{eqnarray*} dx:=e^{*}_x , dy:=e^{*}_y, dz:=e^{*}_z \end{eqnarray*}$ die duale Basis von $\begin{eqnarray*} V^{*} \end{eqnarray*}$ (die Linearform dx liefert also die x-Komponente eines Vektors.)

Nun möchte ich $\begin{eqnarray*} (3dx-2dy+dz)(u_0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (2dx+dy-dz)(5e_x -4e_z) \end{eqnarray*}$ berechnen.

Mein Problem ist nun, dass ich für dx erst mal gerne $\begin{eqnarray*} e^{*}_x \end{eqnarray*}$ einsetzen möchte, aber nicht weiß, wie ich dies aus $\begin{eqnarray*} e_x \end{eqnarray*}$ bekomme.

Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} v^{*}_i(v_j) \end{eqnarray*}$ = 1 für i= j und $\begin{eqnarray*} v^{*}_i(v_j) \end{eqnarray*}$ = 0 für i ungleich j, weiß aber nicht genau, wie ich das hier anwenden soll.

Wäre dankbar, wenn mir jemand sagen kann, wie ich auf $\begin{eqnarray*} e^{*}_x \end{eqnarray*}$ komme.

Gruß
Smiiile

01.06.2009, 21:51

system-agent

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RE: duale Basis

Zitat:

Original von smiiile
Mein Problem ist nun, dass ich für dx erst mal gerne $\begin{eqnarray*} e^{*}_x \end{eqnarray*}$ einsetzen möchte, aber nicht weiß, wie ich dies aus $\begin{eqnarray*} e_x \end{eqnarray*}$ bekomme.

Was magst du da tun? Ich verstehe nicht...

Bedenke, dass $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum ist, das heisst $\begin{eqnarray*} 3dx-2dy+dz \end{eqnarray*}$ ist ein Element von $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ , das heisst eine Funktion $\begin{eqnarray*} V\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ [falls $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ Vektorraum ist].

Nun kann man schreiben:
$\begin{eqnarray*} (3dx-2dy+dz)(u_0)=3dx(u_0)-2dy(u_0)+dz(u_0) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt:
$\begin{eqnarray*} dx(u_0)=e_x^*(u_0)=? \end{eqnarray*}$
Dazu erinnere dich, dass $\begin{eqnarray*} u_0 \end{eqnarray*}$ eine Linearkombination der Basisvektoren ist: $\begin{eqnarray*} u_0=1\cdot e_x+2\cdot e_y+3\cdot e_z \end{eqnarray*}$
Nun nutze nochmal, dass $\begin{eqnarray*} e_x^* \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung ist:
$\begin{eqnarray*} dx(u_0)=e_x^*(u_0)=e_x^*(1\cdot e_x+2\cdot e_y+3\cdot e_z)=1\cdot e_x^*(e_x)+2\cdot e_x^*(e_y)+3\cdot e_x^*(e_z)=? \end{eqnarray*}$

Ähnlich mit den Anderen.

01.06.2009, 22:47

smiiile

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oh, na des hört sich ja schon viel sinnvoller an als mein Ansatz.
Viielen Dank. smile

Ich darf des also auseinander ziehen, weils linear ist, oder?

Ich rechne mal weiter.

Es müsste $\begin{eqnarray*} dx(u_0) \end{eqnarray*}$ dann also $\begin{eqnarray*} 1*1 + 2*0 + 3*0 = 1 \end{eqnarray*}$ ergeben. Stimmt das?

Nur um sicherzugehen:

$\begin{eqnarray*} dy(u_0)=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_z(u_0) = 3 \end{eqnarray*}$

insgesamt ergibt sich

$\begin{eqnarray*} 3dz(u_0)-2dy(u_0) + dz(u_o) = 3*1 - 2*2 + 3 = 2 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

01.06.2009, 22:56

smiiile

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ich habe die zweite Aufgabe jetzt auch noch berechnet.
Da müsste dann

$\begin{eqnarray*} 10dx(e_x)+4dz(e_z)= 10e^{*}_x(e_x) + 4e^{*}_z(e_z)=10+4=14 \end{eqnarray*}$

rauskommen.

02.06.2009, 11:20

system-agent

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Zitat:

Original von smiiile
Ich darf des also auseinander ziehen, weils linear ist, oder?

Ja, denn man betrachtet Elemente des Dualraumes und das sind ja gerade lineare Abbildungen $\begin{eqnarray*} V\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von smiiile
Es müsste $\begin{eqnarray*} dx(u_0) \end{eqnarray*}$ dann also $\begin{eqnarray*} 1*1 + 2*0 + 3*0 = 1 \end{eqnarray*}$ ergeben. Stimmt das?

Zitat:

Original von smiiile
$\begin{eqnarray*} dy(u_0)=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_z(u_0) = 3 \end{eqnarray*}$

Ja, auch wenns $\begin{eqnarray*} dz(u_0) \end{eqnarray*}$ heisst Augenzwinkern

Zitat:

Original von smiiile
$\begin{eqnarray*} 3dz(u_0)-2dy(u_0) + dz(u_o) = 3*1 - 2*2 + 3 = 2 \end{eqnarray*}$

Perfekt.

Und dein zweites stimmt auch.

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