Ringpolynom isomorph zu Z modulo 10 Z

02.06.2009, 13:49

Epsilon82

Ringpolynom isomorph zu Z modulo 10 Z

Halllo,

ich habe folgende Aufgabe:
Beweisen Sie, dass Z[i]/(3*i+1), das Polynom über dem Quotienten-Ring der komplexen Zahlen isomorph zu Z modulo 10 Z ist.

Für den Isomorphismus will ich folgendermaßen vorgehen.
1. Abb. phi: Z[i]==>Z/10Z mit Abb. surjektiv.
2. ker (phi) = (3*i+1)
3. nach dem Isomorphiesatz folgt daraus die Isomorphie.

Die surjektive Abb. wollte ich so definieren.
phi(x) =x aus Z/10Z und phi(i)=3
Dann folgt nämlich, dass alle x aus Z/10Z getroffen werden, also phi surjektiv ist und
für phi(i)=(3*3+1)=10=0 in Z/10Z, also ker(phi).

Nun müsste daraus die Isomorphie folgen, oder? verwirrt

Meist vergesse ich irgendetwas oder was ich schreibe, ist etwas missverständlich.

Vielen Dank für Antworten,
Grüße
Epsilon

02.06.2009, 14:34

kiste

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Sieht gut aus. Was fehlt ist die Wohldefiniertheit. Du hast die Abbildung vom Polynomring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i] \to \mathbb Z/10\mathbb Z \end{eqnarray*}$ definiert durch die universelle Eigenschaft des Polynomringes. Was also noch zu zeigen ist, ist die Wohldefiniertheit. Dazu müssen alle Relationen auf dasselbe abbilden. Die Relationen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\mathrm i] \end{eqnarray*}$ sind genau $\begin{eqnarray*} \mathrm i^2 = -1 \end{eqnarray*}$ . Du musst also noch überprüfen ob $\begin{eqnarray*} \phi(i^2) = \phi(-1) \end{eqnarray*}$

08.06.2009, 13:54

Epsilon82

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Hallo Kiste,

sorry für die späte Rückmeldung. Vielen Dank für den Tipp.
Kleine Zusatzfrage:
Muss ich bei Isomorphien stets die Wohldefiniertheit zeigen? In diesem Fall kann ich es nachvollziehen, weil ja i aus Z[i] kein Element aus Z/10Z ist.
Aber allgemein: Ist da stets die Wohldefiniertheit zu zeigen?
Und zu guter letzt:
Wie merkst du dir, wann du Wohldefiniertheit zeigst? Im allgemeinen Fall unabhängig von Isomorphismen...!

Danke schon einmal im Voraus,
Epsilon

08.06.2009, 20:26

kiste

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Hallo,

die Wohldefiniertheit muss man immer zeigen wenn man eine Abbildung auf einer Struktur(hier Polynomring) definiert wobei die Relationen nicht beachtet werden.

Denn $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\mathrm i] \cong \mathbb Z[x]/(x^2+1) \end{eqnarray*}$ , also muss die Relation x^2 + 1 = 0 -> x^2 = -1 gezeigt werden.
Dies muss gemacht werden da wir implizit den Homomorphiesatz benutzen und dieser verlangt dass (x^2+1) Teilmenge des Kerns ist.

Allgemein muss man wohldefiniert immer zeigen wenn man etwas einfach definiert Augenzwinkern

13.06.2009, 11:21

Epsilon82

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Hallo Kiste,

hey, das ist doch mal eine Erklärung.
Jetzt habe ich auch endlich verstanden, wann ich die Wohldefiniertheit zeigen muss. Hatte letztens noch einen Prof. gefragt und der begann damit, mir die Definition von Ringen vorzulesen und den Beweis zu erklären. Egal.

Muss ich auch die Wohldefiniertheit bei anderen Strukturen, die ich dann selber definiere, zeigen.
Wenn ich z. B. eine Menge definiere, die vorher so noch nicht da war?
Ich meine eine Menge, die ich nicht zum leichteren Handtieren umbenenne, sondern wirklich komplett neu definiere.
Dann könnte ich ja über die Wohldefiniertheit auch schon einmal zeigen müssen, dass eine bestimmte Eigenschaft V nur auf die Menge M zutrifft. Falls es eine Menge N gäbe, die auch die Eigenschaft V hätte, dann wäre dann M=N. Oder?

Dies ist kein Beweis, sondern nur eine Überlegung.

Besten Gruß
Epsilon82

13.06.2009, 11:47

kiste

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Zitat:

Original von Epsilon82
Dann könnte ich ja über die Wohldefiniertheit auch schon einmal zeigen müssen, dass eine bestimmte Eigenschaft V nur auf die Menge M zutrifft. Falls es eine Menge N gäbe, die auch die Eigenschaft V hätte, dann wäre dann M=N. Oder?

Verstehe nicht wie du das so allgemein meinst Augenzwinkern

13.06.2009, 15:59

Epsilon82

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Dann könnte ich ja über die Wohldefiniertheit auch schon einmal zeigen müssen, dass eine bestimmte Eigenschaft V nur auf die Menge M zutrifft. Falls es eine Menge N gäbe, die auch die Eigenschaft V hätte, dann wäre dann M=N. Oder?
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Ich meine damit, dass du sagtest, dass die Wohldefiniertheit bei selbstdefinierten Abbildungen gezeigt werden muss. Nun habe ich mir überlegt, dass ich auch Mengen mit bestimmten Eigenschaften verknüpfen kann.
Zum Beispiel:
Wenn ich eine minimale sigma-Algebra habe, die innerhalb einer Übungsaufgabe von mir definiert werden sollte, dann könnte ich ja auch zeigen, dass diese wirklich die kleinste ist. Dies könnte ich ja auch mit der Wohldefiniertheit machen, indem ich bspw. zeige, dass es eine weitere minimale sigma-Algebra gibt, die dann gleich der ersten war.

Anderes Beispiel:
Bei Normalteilerreihen (N<N1<N2<..<Nn=e) kann ich ja zeigen, dass es einen maximalen auflösbaren Normalteiler N gibt der eindeutig ist. Also auch wieder mit Wohldefiniertheit zeigen, dass falls es einen zweiten maximalen auflösbaren Normalteiler M gibt, dass dann beide dieselben sein müssen, also M=N.

Nun habe ich mir gerade die Frage selber beantwortet... Wink