Oktagon

04.06.2009, 08:51

Strobo

Oktagon

Wie lang ist die jeweilige Seite eines Oktagons, wenn dieses aus einem quadratischen Stück Papier ausgeschnitten werden soll?

04.06.2009, 09:06

Tipp1

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Ein Oktagon ist ein regelmäßiges Achteck. Also so lang wie das Papier ist. Augenzwinkern

04.06.2009, 10:42

Gualtiero

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RE: Oktagon
Die Seite des Achtecks muss kürzer sein als das "Papier lang ist". Die Antwort würde ich schon exakter formulieren.
Wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die Seite des Quadrates ist, $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ die Seite des regelmäßigen Achtecks und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ die Kathete des rechtwinkligen Dreiecks, das durch die Abschrägung entsteht, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} a = s + 2k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=\sqrt{\frac{s^2}{2}} \Rightarrow a = s + 2 \cdot \sqrt{\frac{s^2}{2}} \end{eqnarray*}$

Daraus läßt sich leicht das Verhältnis zwischen a und s bestimmen.

EDIT: Hier noch eine Skizze.
[attach]10707[/attach]

04.06.2009, 10:45

123Mathe

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Hallo!

Zunächst einmal ist der Vorschlag von Tipp1 falsch.

Ich hab dir mal nen Bild dazu gemacht.

Angenommen, dass Papier ist $\begin{eqnarray*} a \text{ cm} \end{eqnarray*}$ lang. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist die gesucht länge.

Man weiss, dass die Innenwinkel jeweils 135° betragen und es werden vier kongruente rechtwinklige Dreiecke abgeschnitten.

Bestimme die Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ . Dann kannst du mit einer trigonometrischen Formel um die Seite $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.
(Werte kann man dem Bild entnehmen.)

[attach]10711[/attach]

Edit (mY+): Skizze berichtigt, sie bezieht sich auf das Beispiels eines regelmäßigen Sechseckes.

Gruß smile

EDIT: SORRY, diese Lösung bezieht sich auf ein regelmässiges Sechseck.

04.06.2009, 11:01

mYthos

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Zitat:

Original von 123Mathe
...
EDIT: SORRY, diese Lösung bezieht sich auf ein regelmässiges Sechseck.

Dann stimmen in deiner Skizze die 135° keinesfalls. Ich denke, du solltest die Skizze unbedingt berichtigen!

mY+

04.06.2009, 11:07

123Mathe

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Leider kann ich denn Beitrag nicht mehr ändern @mYthos.

Hab hier die geänderte Skizze. Die Innenwinkel betragen dann 120°.

Edit (mY+): Die berichtigte Skizze wurde in den vorigen Beitrag verschoben.

04.06.2009, 21:04

Strobo

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Die Gleichung von Gualtiero ist schon richtig, so weit bin ich auch gekommen. Nur wie kann ich jetzt s oder zumindest k errechnen, wenn ich doch nur a kenne

04.06.2009, 22:02

Gualtiero

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RE: Oktagon
@Strobo
Habt Ihr solche Gleichungen schon umgeformt?
$\begin{eqnarray*} a = s + 2 \cdot \sqrt{\frac{s^2}{2}} \end{eqnarray*}$

Das ist ganz einfach. Da 2 vor der Wurzel ja Faktor ist, kann es quadriert und in diese hineingezogen werden:

$\begin{eqnarray*} a = s + \sqrt{4 \cdot \frac{s^2}{2}} \end{eqnarray*}$

Jetzt den Bruch in der Wurzel kürzen und $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ aus der Wurzel herausziehen.
Probier das.

Das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ interessiert uns nicht mehr, wir wollen eine Beziehung zwischen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ .

05.06.2009, 20:23

Strobo

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hmm, irgendwie komm ich noch nicht dahinter verwirrt

06.06.2009, 10:47

Gualtiero

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Schreib Deinen Rechenweg hier auf, dass jeder weiß, von wo an er Dir helfen kann.
Alles vorrechnen hat keinen Sinn und ist auch nicht Ziel dieses Forums. Wenn Du es verstehen willst, musst Du Dich schon ein wenig anstrengen.

06.06.2009, 21:23

Strobo

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Sorry, bin schon fast 25 Jahre aus der Schule raus und hab leider viel verlernt. Bis zur Gleichung bin ich auch gekommen, nur weiss ich nicht mehr wie man die Gleichung auflöst. Vielleicht präzisiere ich noch mal meine Frage:
Wenn ich von einem Quadrat nur die Seitenlänge kenne, kann ich dann trotzdem ausrechnen wie lang jeweils eine Seite des Oktagon ist?
Mit der u.a. Gleichung müsste ich ja einzelne Werte ausprobieren um mich damit an das richtige Ergebnis ranzutasten.

06.06.2009, 23:00

Gualtiero

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Na gut.
Deine Frage habe ich von Anfang an so verstanden, wie zuletzt formuliert. D. h. wir suchen eine konstante Größe, die mit der Seite des Quadrats multipliziert die Seitenlänge für ein Achteck ergibt, das durch Abschrägung der vier Ecken aus dem gegebenen Quadrat entsteht.
Als nächsten Schritt habe ich vorgeschlagen, den Bruch zu kürzen:

$\begin{eqnarray*} a = s + \sqrt{2 \cdot s^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt solltest Du Dir folgende Rechengesetze in Erinnerung rufen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \end{eqnarray*}$ ,

und genauso $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2 \cdot b} = \sqrt{a^2 } \cdot \sqrt {b}=a \cdot \sqrt{b} \end{eqnarray*}$

(Die negative Wurzel aus $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ hat hier keine Bedeutung.)
Das angewandt auf unsere Formel ergibt: $\begin{eqnarray*} a = s + s \cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Ist aber noch immer nicht gut brauchbar für unseren Zweck; wir vereinfachen weiter, indem wir $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ausklammern (in Ö sagen wir: $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ wird hervorgehoben):

$\begin{eqnarray*} a = s \cdot (1+ \sqrt{2} ) \end{eqnarray*}$

Der Klammerausdruck ist jener Faktor, den wir gesucht haben. Die Umstellung nach $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ überlasse ich Dir.

07.06.2009, 12:10

Strobo

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Also wäre dann s= $\begin{eqnarray*} \frac{a}{1+Wurzel aus 2} \end{eqnarray*}$ ?

07.06.2009, 12:15

Strobo

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Kann meinen Beitrag leider nicht editieren, deshalb doppelpost.

Habe leider nicht den Latexbefehl für "Wurzel aus" gefunden, deshalb diese seltsame schreibweise.

07.06.2009, 13:08

Strobo

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Somit kann man also mit der einfachen Formel

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{2,4142136} \end{eqnarray*}$

die Seitenlänge errechnen.

Vielen Dank an all die Helfer! Freude

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