Drehmatrix im R^3

07.06.2009, 09:19

Hans87

Drehmatrix im R^3

Hallo,
wie sieht die Matrix der Drehung um den Vektort (1,1,0) in der Ebene aus?

Mein Vorschlag (Drehwinkel alpha):

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos \alpha & -sin \alpha \\ 0 & sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich die Basis: {(1,1,0); (0,0,1), (1,-1,0)} zugrunde lege.
Stimmt das dann?

07.06.2009, 11:50

Leopold

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Beachte, daß zwei deiner drei Basisvektoren nicht normiert sind. Und was ist genau die Aufgabe? Sollst du dich bei der Drehmatrix vielleicht auf die kanonischen Einheitsvektoren beziehen?

07.06.2009, 12:23

Hans87

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Hi Leopold,
ich verstehe deine Hinweise leider nicht so recht. Weshalb müssen die Vektoren normiert sein?

Ich denke, ich darf mir bei der Aufgabe eine beliebige Basis auswählen.
Da ich weiß, dass (1,1,0) Fixvektor sein muss, habe ich es so gewählt, dass (1,1,0) Eigenvektor zum EW 1 ist. Da die Basis orthogonal ist, dachte ich, die 2d Drehmatrix einfach unten reinschreiben zu können, denn ich möchte ja im Grunde längs der von den Vektorn (0,0,1), (1,-1,0) aufgespannten Ebene drehen.

Vielleicht kannst du deine Hilfestellungen etwas konkretisieren...

07.06.2009, 15:12

WebFritzi

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Man, man... unglücklich

Zitat:

Original von Leopold
Und was ist genau die Aufgabe?

07.06.2009, 17:28

Hans87

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Ich dachte, es wäre verständlich:
Gesucht ist eine Matrix, die eine Drehung im Raum um den Vektor (1,1,0) und um den Winkel alpha beschreibt (und natürlich die dazugehörige Basis). Ist an der Fragestellung irgendetwas nicht richtig bzw. unvollständig.

07.06.2009, 17:56

riwe

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warum verwendest du nicht diese matrix
was meiner unwesentlichen meinung nach, erhebliche zweifel an deiner darstellung zuläßt smile

beachte auch das wörtchen "einheitsvektor"

07.06.2009, 18:38

Hans87

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Gibt es denn keine Möglichkeit, die Matrix auf anschaulichem Wege zu ermitteln?

07.06.2009, 22:22

WebFritzi

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Dein Ansatz ist schon ok so. Nur sind deine Basisvektoren nicht normiert. Das ist das Problem. Normiere sie - und du bist fertig.

25.09.2010, 23:29

Mikel007

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Antwort Drehmatrix
Die Matrix, die du dir überlegtest, gilt für Drehungen um die x-Achse, also um den ("normierten") Basisvektor $\begin{eqnarray*} \vec{e}_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Lösung ist etwas komplexer...

Die algemeine Matrix zum Drehen um einen beliebigen "Einheitsvektor" $\begin{eqnarray*} \vec{v}=\begin{pmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix}^T \end{eqnarray*}$ als Achse lautet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos \alpha + v_1^2 (1-cos \alpha) & v_1 v_2 (1-cos \alpha)-v_3 sin \alpha & v_1 v_3 (1-cos \alpha)+v_2 sin \alpha \\ v_1 v_2 (1-cos \alpha)+v_3 sin \alpha & cos \alpha +v_2^2 (1-cos \alpha) & v_2 v_3 (1-cos \alpha)-v_1 sin \alpha \\ v_1 v_3 (1-cos \alpha)-v_2 sin \alpha & v_2 v_3 (1-cos \alpha)+v_1 sin \alpha & cos \alpha +v_3^2 (1-cos \alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um nun einen Vektor zu normieren teilt man ihn einfach durch seinen Betrag, also: $\begin{eqnarray*} \vec{z}_0= \frac{ \vec{z}}{| \vec{z}|} = \frac{\vec{z}}{z} \end{eqnarray*}$

Und der Betrag: $\begin{eqnarray*} | \vec{z}|= z = \sqrt{z_1^2 + z_2^2 + z_3^2} \end{eqnarray*}$ in deinem Fall $\begin{eqnarray*} z = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Dein Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{z}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ normiert, lautet also: $\begin{eqnarray*} \vec{z}_0 = \begin{pmatrix} (z_1)_0 \\ (z_2)_0 \\ (z_3)_0 \end{pmatrix} = \frac{ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}}{ \sqrt{2}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt $\begin{eqnarray*} (z_1)_0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (z_2)_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (z_3)_0 \end{eqnarray*}$ eingesetzt für $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ aus der Rotationsmatrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos \alpha + \frac{1}{2} (1-cos \alpha) & \frac{1}{2} (1-cos \alpha) & \frac{1}{\sqrt{2}} sin \alpha \\ \frac{1}{2} (1-cos \alpha) & cos \alpha + \frac{1}{2} (1-cos \alpha) & -\frac{1}{\sqrt{2}} sin \alpha \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} sin \alpha & \frac{1}{\sqrt{2}} sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das lässt sich vlt. noch ein bisschen vereinfachen, aber müsste jetzt eine "funktionierende" Rotationsmatrix um den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{z}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein.

Der Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ fehlt eben noch. Beachte, dass dieser in einem Rechtssystem gegen, in einem Linkssystem im Uhrzeigersinn dreht.

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