Lineare Unabhängigkeit

08.06.2009, 18:47

smiiile

Lineare Unabhängigkeit

Hallo, ich möchte diese zwei Aufgaben lösen, bei der ersten habe ich eine Lösung, weiß aber nicht, ob ich das so machen darf und bei der zweiten hänge ich leider schon am Ansatz.

Hier die Aufgabenstellung.

Sei $\begin{eqnarray*} V=C^{\infty } \end{eqnarray*}$ der R-Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen von R nach R. Seien für $\begin{eqnarray*} f\in V \end{eqnarray*}$ die Abbildungen a,b,c gegeben durch

$\begin{eqnarray*} a(f)=f(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b(f) =\int_{0}^{1}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c(f)=f'(0) \end{eqnarray*}$

a) Die Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} :V-->V: f-->f' \end{eqnarray*}$ ist eine lineare Abbildung. $\begin{eqnarray*} (\frac{d}{dx})^{*} \end{eqnarray*}$ ist also eine lineare Abbildung von V* nach V*. Zeige, dass $\begin{eqnarray*} (\frac{d}{dx})^{*}(a)=c \end{eqnarray*}$

Ich habe das nun so gezeigt.

$\begin{eqnarray*} (\frac{d}{dx})^{*}(a(f))=(\frac{d}{dx})^{*}(f(0))=f'(0)=c(f) \end{eqnarray*}$ .
Reicht das so? Ich bin mir bei dem dritten Gleichheitszeichen unsicher...

b) Zeige, dass a,b, und c linear unabhängig sind.

Lineare Unabhängigkeit zeige ich ja normalerweise, indem ich zeige, dass es für

$\begin{eqnarray*} t*a + u*b + v*c=0 \end{eqnarray*}$

nur die Lösung

$\begin{eqnarray*} t=u=v=0 \end{eqnarray*}$ gibt.

Bisher hatte ich aber statt diesen Funktionen a, b und c dort nur Vektoren stehen. Wie zeige ich dies nun bei Funktionen?

Liebe Grüße und schon mal Danke im Voraus.
smiiile

08.06.2009, 18:56

tmo

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Was ist V*?

Und was ist $\begin{eqnarray*} \left(\frac{d}{dx}\right)^* \end{eqnarray*}$ ?

08.06.2009, 19:11

smiiile

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Oh, sry, hab ich vergessen zu erwähnen.
wir haben das so definiert:

"Der K-Vektorraum $\begin{eqnarray*} Hom_K (V,K) \end{eqnarray*}$ wird mit V* bezeichnet. V* wird der zu V duale Raum genannt. Die Elemente von V* heißen Linearformen."

analog müsste das auch für $\begin{eqnarray*} (\frac{d}{dx} )* \end{eqnarray*}$ gelten.

08.06.2009, 20:03

WebFritzi

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RE: Lineare Unabhängigkeit

Zitat:

Original von smiiile
Ich habe das nun so gezeigt.

$\begin{eqnarray*} (\frac{d}{dx})^{*}(a(f))=(\frac{d}{dx})^{*}(f(0))=f'(0)=c(f) \end{eqnarray*}$ .
Reicht das so? Ich bin mir bei dem dritten Gleichheitszeichen unsicher...

Das letzte Gleichheitszeichen ist leider das einzig richtige. Alles andere ist falsch und macht keinen Sinn. Für lineares $\begin{eqnarray*} T : V\to V \end{eqnarray*}$ ist definiert

$\begin{eqnarray*} T^* : V^*\to V^*,\quad \big(T^*(F)\big)(f) := F\big(T(f)\big). \end{eqnarray*}$

Halte dich an diese Definition. Hier ist halt T = d/dx.

08.06.2009, 22:27

smiiile

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hmm.. also ich soll das hier verwenden.

$\begin{eqnarray*} (\frac{d}{dx} )*(F))(f):=F((\frac{d}{dx} )(f)) \end{eqnarray*}$

Hab aber noch nich ganz verstanden, wie ich das auf mein Problem anwende. Für was steht denn des große F?

Ich habs nochmals ein wenig anders versucht.. $\begin{eqnarray*} (\frac{d}{dx} )*(a)=(\frac{d}{dx} )*(a(f))=(a(f))' = (f(0))'= f'(0) = c(f) \end{eqnarray*}$

der * soll immer oben stehen (man siehts nicht so gut)

beim ersten "=" setze ich ja nur bei a noch a(f) ein. Beim zweiten "=" schreibe ich das $\begin{eqnarray*} (\frac{d}{dx} ) \end{eqnarray*}$ in den ' um. Beim dritten "=" ersetze ich a(f) durch f(0) was ich ja weiß und das ist ja gleich c(f).

Ist das immernoch falsch? und falls ja, warum darf ich es nicht so machen?

Liebe Grüße
smiiile

08.06.2009, 22:55

WebFritzi

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Den Stern stellst du so hoch: ^*

Zitat:

Original von smiiile
hmm.. also ich soll das hier verwenden.

$\begin{eqnarray*} (\frac{d}{dx} )*(F))(f):=F((\frac{d}{dx} )(f)) \end{eqnarray*}$

Genau. Die Klammern nach dem Gleichheitszeichen kannst du auch weglassen. Das sieht besser aus:

$\begin{eqnarray*} \left(\left(\frac{d}{dx}\right)^*(F)\right)(f) = F\left(\frac{d}{dx}f\right). \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von smiiile
Hab aber noch nich ganz verstanden, wie ich das auf mein Problem anwende. Für was steht denn des große F?

Das geht doch eindeutig aus meiner Darstellung von T* hervor. F ist natürlich ein lineares Funktional auf V, bzw. ein Element aus V*.

Zitat:

Original von smiiile
Ich habs nochmals ein wenig anders versucht.. $\begin{eqnarray*} (\frac{d}{dx} )*(a)=(\frac{d}{dx} )*(a(f))=(a(f))' = (f(0))'= f'(0) = c(f) \end{eqnarray*}$

Das wird ja immer schlimmer. Hier ist wirklich alles falsch, alles Blödsinn. Mathe ist nicht Raten, sondern Nachdenken. Dabei muss man hier gar nicht einmal so viel nachdenken. Du musst in dieser Aufgabe wirklich nur einsetzen.
Außerdem habe ich dir doch gesagt, wie die adjungierte Abbildung T* definiert ist. Wenn du die Definition nicht beherzigen willst, ist dein Beweis natürlich falsch. Ganz einfach.

10.06.2009, 00:28

smiiile

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also ich hab das jetzt nochmals mit deiner Definition versucht und für F mein a eingesetzt. Dann ergibt sich

$\begin{eqnarray*} ((\frac{d}{dx}^*)(a))(f)=a((\frac{d}{dx})(f)) \end{eqnarray*}$

Dann habe ich weiter umgeformt:

$\begin{eqnarray*} a((\frac{d}{dx})(f))= a(f')=f'(0)=c(f) \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

10.06.2009, 03:33

WebFritzi

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Ja, so ist es richtig. Freude

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