Ähnlichkeit oder Gleichheit von 2 Matrizen errechnen

08.06.2009, 20:52

casio1

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Ähnlichkeit oder Gleichheit von 2 Matrizen errechnen

Guten tag,

Ich habe volgendes Problem. Ich möchte gern wissen ob 2 Matrizen gleich sind.

(Beide haben ein rechten Winkel)

Es handelt sich hier um 2 Dreieck A=1 2 1

1 1 2

und B ist um (90°) um den Uhrsprung gedreht B= -1 -1 -2

1 2 1

1. Ansatz

Alles schön und gut ich hab dann die Drehmatrix ausgerechnet und alles war wunderbar.

Jedoch wenn es sich nicht um eine Matrix dieser Form (mit einem rechtem Winkel) handelt

weiß ich nicht wie ich der herauskommenden Matrix (Die Drehmatrix) ansehen kann das sie die Matrix Schert (Scherung).

Wie könnte ich eine Scherung erkennen?

Die Drehmatrix für B zu A C= 3 4 2

0 0 1

-2 -3 -2

Das nicht rechtwinklige Dreieck F = -3 -2 -4

-1 -2 -1

2. Ansatz

Nachdem mein erster versuch gescheiter ist bin ich auf diese Seite gestoßen
.
http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84hnlichkeit_(Matrix)(

Mein Augenmerk fiel auf die Eigenschaften der Matrizen , jedoch hatte ich auch diesmal kein Erfolg.

Könnt ihr mir Helfen? Oder geh ich an der Sache völlig falsch ran???

danke schon mal .

08.06.2009, 21:04

WebFritzi

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Bitte benutze den Formeleditor. So ist das nicht lesbar.

08.06.2009, 21:39

casio1

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RE: ähnlichkeit oder gleichheit von 2 Matrizen errechnen
Guten tag,

Ich habe volgendes Problem. Ich möchte gern wissen ob 2 Matrizen gleich sind.

(Beide haben ein rechten Winkel)

Es handelt sich hier um 2 Dreieck A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und B ist um (90°) um den Uhrsprung gedreht B= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & -1 &- 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Ansatz

Alles schön und gut ich hab dann die Drehmatrix ausgerechnet und alles war wunderbar.

Jedoch wenn es sich nicht um eine Matrix dieser Form (mit einem rechtem Winkel) handelt

weiß ich nicht wie ich der herauskommenden Matrix (Die Drehmatrix) ansehen kann das sie die Matrix Schert (Scherung).

Wie könnte ich eine Scherung erkennen?

Die Drehmatrix für B zu A C= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}3 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 &-3 &-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das nicht rechtwinklige Dreieck F = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 & -2 &-4 \\-1& -2 &-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2. Ansatz

Nachdem mein erster versuch gescheiter ist bin ich auf diese Seite gestoßen
.
http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84hnlichkeit_(Matrix)(

Mein Augenmerk fiel auf die Eigenschaften der Matrizen , jedoch hatte ich auch diesmal kein Erfolg.

Könnt ihr mir Helfen? Oder geh ich an der Sache völlig falsch ran???

danke schon mal .

08.06.2009, 21:57

WebFritzi

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RE: ähnlichkeit oder gleichheit von 2 Matrizen errechnen

Zitat:

Original von casio1
Ich habe volgendes Problem. Ich möchte gern wissen ob 2 Matrizen gleich sind.

(Beide haben ein rechten Winkel)

Es handelt sich hier um 2 Dreieck A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Offenbar sind A und B nicht gleich.

2. Was bedeutet es, dass eine Matrix einen rechten Winkel hat? verwirrt

verwirrt

3. Wo siehst du bei der Darstellung von A ein Dreieck? verwirrt

verwirrt

09.06.2009, 07:01

castio1

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RE: ähnlichkeit oder gleichheit von 2 Matrizen errechnen
sorry abschreib fehler

A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.06.2009, 10:45

marodeur

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auch bei B ist ein Fehler passiert.

@ WebFritzi: 2. das Dreieck hat einen rechten Winkel. Ich glaub hier werden die Begriffe durcheinander gewürfelt.

@ castio: deine Drehmatrix ist falsch, du drehst ja nur im 2-dim. Raum. Nimm dir mal die Eckpunkte einzeln vor und stelle dazu ein Gleichungssystem auf.

EDIT: Ähnlichkeit von Matrizen kann man hier nicht anwenden, da dieses eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der quadratischen Matrizen ist.
EDIT2: Um die Ähnlichkeit zweier Dreiecke zu zeigen reicht es eine bijektive Abbildung T zu finden mit $\begin{eqnarray*} T(A)=B \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} T^{-1}(B)=A \end{eqnarray*}$

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09.06.2009, 11:50

casio1

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Ja bei B ist der selber Dreher...

Ja hab dieses Gleichungssystem schon gelöst..oben ist die Matrix, die heißt C...
Leider lässt sich jede Matrix so zu Matrix A machen. Aber wie erkenne ich
das sich die Form nicht verändert?

09.06.2009, 12:05

marodeur

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Die Matrix C ist falsch, es muss eine (2x2)-Matix sein. Denn:

B = C*A

(2x3) = (2x2) * (2x3)

deine Matrix C kann man gar nicht mit A multiplizieren.

09.06.2009, 14:11

casio1

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Leider lässt sich meines wissens nach dieses Problem ((2x3) = (2x2) * (2x3)) nicht mir dem GJA lösen . Es wäre hilfreicher eine ebene höher zu gehen um folgendes zu erhalten ((3x3) = (3x3) * (3x3)). Ich hab dann kurzerhand die dim. erweitert. Und siehe da das Problem lässt sich lösen.

Natürlich kann Mensch eine Lösung für (2x3) = (2x2) * (2x3) finden!!! Soweit ich weiß nicht der GJA.

Also wenn ihr vielleicht eine bessere Idee habt mein Problem zu lösen dann her damit =). Ich bin für alles offen.

P.s. Die Winkel oder die Länge zwischen den punkten zu bestimmen halte ich für relativ ineffizient. Würde doch gern eine schnelle Methode finden .

Danke für eure mühe.

09.06.2009, 14:20

WebFritzi

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Nun, dazu solltest du erstmal dein Problem verständlich aufschreiben. Und wenn du in der Ebene Punkte um den Ursprung drehen willst, brauchst du 2x2-Matrizen.

09.06.2009, 14:44

marodeur

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Und wie schon oben erwähnt: Betrachte jeden Eckpunkt einzeln. dann erhälst du Gleichungssysteme, die du lösen kannst.

$\begin{eqnarray*} B_1=C*A_1,\quad B_2=C*A_2,\quad B_3=C*A_3 \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} B=(B_1,B_2,B_3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A=(A_1,A_2,A_3) \end{eqnarray*}$ bei richtiger anordnung der Ecken in den MAtrizen A und B!

09.06.2009, 15:03

casio1

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Skizze:

http://www9.picfront.org/picture/sOHbDrW7/img/Problem.jpg

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

B= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1&-1&-2 \\ 1&2&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

F= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 &-2 &-4 \\ -1& -2& -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Problem: Wie zeig ich das A, B ähnlich ist und nicht F ähnlich.

Mein Ansatz:

B * (x)^-1 =A

da b=2x3 und A 2x3 erweitere ich A und B in der Z richtung um 1

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1& 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
B= Analog zu A

nun kann GJA gestartet werden.

X^-1=C= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 &4 &2 \\ 0& 0& 1\\-2&-3&-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also B*C=A

Alternative durch scharfes hin gucken kann X das sein = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 &1 &0 \\ -1& 0& 0\\0&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für X*B=A

oder für die 2x2 form X= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 &1 &0 \\ -1& 0& 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.06.2009, 15:07

casio1

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Zitat:

Original von marodeur
Und wie schon oben erwähnt: Betrachte jeden Eckpunkt einzeln. dann erhälst du Gleichungssysteme, die du lösen kannst.

$\begin{eqnarray*} B_1=C*A_1,\quad B_2=C*A_2,\quad B_3=C*A_3 \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} B=(B_1,B_2,B_3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A=(A_1,A_2,A_3) \end{eqnarray*}$ bei richtiger anordnung der Ecken in den MAtrizen A und B!

Soll C eine Konstante sein??? Prinzipiell ist das doch das gleiche was ich tu nur auf gesplittet oder versteh ich da was falsch..und die zweite frage wie erkenne ich wenn die punkte nicht passen sollen also A und F???

09.06.2009, 17:20

marodeur

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C ist die Transformationsmatrix, hast sie doch auch C genannt.

und ja man schaut sich jeden Punkt einzeln an. Offensichtlich muss die Ecke in der 90° zwischen den Seiten sind wieder in eine solche überführt werden.

Da du ja schon eine Skzze gemacht hast, sieht man ja, dass alle y-Koordinaten unverändert bleiben, aber die x-Koordinaten das vorzeichen ändern.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow C=\begin{pmatrix}-1& 0\\0& 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

willst du nun A (oder B) auf F abbilden, dann gibt es eine Abbildung, die 2 Punkte von A auf 2 Punkte von F abbildet, aber den 3. Punkt von A nicht auf den 3. Punkt von F. Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat keine Lösung. (kannst du leicht nachrechnen)

Die Dreiecke sind ähnlich, wenn $\begin{eqnarray*} C=a\cdot Q \end{eqnarray*}$ wobei Q eine orthogonale Matrix ist. ( $\begin{eqnarray*} \operatorname{det}(Q)=\pm 1,\quad a\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ )

09.06.2009, 18:14

casio1

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Ich möchte gern wissen ob die Matrix A gleich der Matrix B (von der Form her ) ist (Beweis durch Rechnung und nicht durch hin gucken).
Und dann das gleiche für alle möglichen Matrizen.

Das heißt ich will prüfen können ob eine Menge von Matrizen ähnlich der Matrix A sind (also im diesem fall rechtwinklig).

Fälle:
-Matrix ist zur Matrix A gedreht
-Matrix ist zur Matrix A verschoben
-Matrix ist zur Matrix A ein vielfaches

Diese Fälle sollen berücksichtige werden.

Ein Beispiel:

Eine Matrix gedreht und verschoben jedoch Rechtwinklig so wie A, dann will ich berechnen können das sie A ist.

Ein gleichschekliges Dreieck in Matrix gestallt, soll dann durch der Berechnung sehen das sie nicht A ist.

09.06.2009, 19:55

WebFritzi

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Gilt auch Spiegelung an einer der Achsen?

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