Spaltenrang unverändert nach Streichen einer linear abhängigen Zeile

09.06.2009, 15:37

Felix

Spaltenrang unverändert nach Streichen einer linear abhängigen Zeile

In der m x n Matrix A, ist die letzte Zeile eine Linearkombination der
vorhergehenden. Streicht man diese Spalte, so bleibt der Spaltenrang unverändert.

Beweis:

Seien $\begin{eqnarray*} a_1,a_2, ..., a_m \end{eqnarray*}$ die Zeilen. Nach Voraussetzung gilt, $\begin{eqnarray*} a_m = k_1a_1 + ... + k_{m-1}a_{m-1} \end{eqnarray*}$

Daher ist $\begin{eqnarray*} SR(A) \end{eqnarray*}$ Teilmenge von $\begin{eqnarray*} W:= \{ (x_1,x_2,...,x_m) : x_m = b_1x_1 + ... + b_{m-1}x_{m-1} \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi: W \to K^{m-1}, x=(x_1,x_2, ... , x_m) \to x' = (x_1,x_2, ... , x_{m-1}) \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich injektiv.

Es folgt also $\begin{eqnarray*} Ker \pi = {0} \end{eqnarray*}$ .

Nach der Dimensionsformel, hat $\begin{eqnarray*} \pi(SR(A)) = SR(A') \end{eqnarray*}$ die gleiche Dimension wie $\begin{eqnarray*} SR(A) \end{eqnarray*}$ .

Sollte alles so passen, oder ?

lg

09.06.2009, 17:42

WebFritzi

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Was ist SR(A)?

09.06.2009, 17:43

Felix

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Der Raum der durch die Spalten aufgespannt wird. Aja A' ist die Matrix mit der weggestrichenen Zeile.

09.06.2009, 17:47

WebFritzi

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RE: Spaltenrang unverändert nach Streichen einer linear abhängigen Zeile
Das erklärt man vorher!

Zitat:

Original von Felix
$\begin{eqnarray*} W:= \{ (x_1,x_2,...,x_m) : x_m = a_1x_1 + ... + a_{m-1}x_{m-1} \} \end{eqnarray*}$

Und was soll das für eine Menge sein? Irgendwie passt das nicht.

09.06.2009, 17:55

Felix

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Zitat:

Das erklärt man vorher!

Hatte gedacht, das ist eine übliche Bezeichnung.

Jede Spalte ist ein Vektor aus $\begin{eqnarray*} K^m \end{eqnarray*}$ Außerdem ist die letzte Komponente eine Linearkombination der vorigen Komponenten. Daher ist SR(A) Teilmenge von W.

Dieses ersten Teil, habe ich auch aus meinem Buch übernommen, ich sollte den Beweis nur ein wenig anders führen (die Injektivität und Linearität von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ benutzen)

09.06.2009, 18:08

WebFritzi

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Irgendwie verwechselst du Zeilen und Spalten. Erst sind die a's die Zeilen, und in W sind's die Spalten, oder was? Woher kommen die x'e in W?

09.06.2009, 18:14

Felix

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Die a´s sind die Spalten. W besteht einfach aus m-tupeln mit angegebener spezieller Eigenschaft. Diese Eigenschaft haben auch die als Vektoren aufgefassten Spalten. Die xé sind ja nur Körperelemente.

Ah und schon hab ich gesehen, was ich schändlicherweise verbrochen habe Ups

Ich hatte mir die Mühe sparen wollen Lamdas zu verwenden und hab stattdessen a´s benutzt unglücklich

Ich editiere das mal schnell ...

Edit:

Hab jetzt b's als Skalare benutzt.

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