Induktion - Ungleichung

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Bujashaka Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion - Ungleichung
Zeigen Sie durch Induktion über n:



seien reelle Zahlen mit für alle i oder mit für alle i.

Ich verstehe schon beim IA nicht, wie ich zeigen soll, dass beide Seiten gleich sind und die Aussage wahr ist für z.B.

Auch der IS ist mir unklar für .

Könnte mir jemand ein paar Tips geben?

Ich meine es steht doch dort eigentlich



nur ausgeschrieben???
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion - Ungleichung
Jetzt machen wir erstmal den Induktionsanfang, am besten für n=1

Du weißt was das Symbol bedeutet ?

Was steht dann da, wenn du n=1 einsetzt?
Bujashaka Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion - Ungleichung
Ja, es ist das Produktzeichen Augenzwinkern

Hier liegt das erste Problem. Ich finde kein n und weiß auch nicht wo ich es einsetzen muss. Ich kann mir nur denken, dass es in diesem Fall dazu kommt:


, da es ja bis 1 laufen soll (n=1)

und somit wär ja die Aussage wahr, da alle Zahlen annehmen kann über 0 (einschließlich 0). ist ja auf 1 begrenzt und damit wäre es kleiner.

Oh, ich glaube das war jetzt nicht grad sehr mathematisch...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion - Ungleichung
Zitat:
Original von Bujashaka
Ich finde kein n und weiß auch nicht wo ich es einsetzen muss.

Was soll das heißen? verwirrt
Beim Induktionsanfang ist n=1 und das setzst du bitte mal in ein, und zwar überall, wo ein n steht, aber auch nur da. Was steht dann da?
Bujashaka Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion - Ungleichung
Dann steht dort
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Dann steht dort , was offensichtlich stimmt Augenzwinkern
 
 
Bujashaka Auf diesen Beitrag antworten »

Oh das i vergessen...

Ja habs verstanden. Wäre schneller gegangen, hätte ich mir mal ebend mehr Gedanken über das gemacht
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt schon, dass der Beweis noch nicht abgeschlossen ist?
Bujashaka Auf diesen Beitrag antworten »

Ja brauche noch den IS mit ...
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu nimmst du an, dass gilt.

Nun musst du zeigen, dass dann gilt.
Bujashaka Auf diesen Beitrag antworten »



Das mag so richtig sein, aber wie baut man nun weiter auf?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bujashaka


Das mag so richtig sein, aber wie baut man nun weiter auf?


Ob das richtig ist, weißt du ja noch gar nicht Augenzwinkern

Es ist . An dieser Stelle musst du die Induktionsvoraussetzung anwenden.
Bujashaka Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen



Wie kommt man denn darauf?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du den letzten Faktor aus dem Produkt rausziehst, dann steht da eben genau dies:



Augenzwinkern
Bujashaka Auf diesen Beitrag antworten »



verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bist du jetzt darauf gekommen? verwirrt
Bujashaka Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das frag mich mal einer...

und jetzt sollte die IV angewendet werden. Was ist denn nun die IV gewesen und wie wende ich sie an? Ich glaube ich habe da etwas durcheinander gewürfelt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Offensichtlich hast du nicht nur Probleme mit dem Produktzeichen, sondern auch mit dem Prinzip der vollständigen Induktion. Die Induktionsvoraussetzung entspricht der behaupteten Aussage, also:



Wir hatten jetzt:


Wenn man sich die rechte Seite anschaut, dann kann man mal das Produkt "Klammer mal irgendwas" auseinanderziehen.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bujashaka
Was ist denn nun die IV gewesen und wie wende ich sie an?


Zitat:
Original von therisen
Dazu nimmst du an, dass gilt.


Man wendet sie nun so an:
.

Du musst jetzt nur noch zeigen, dass gilt.


Gruß, therisen
Bujashaka Auf diesen Beitrag antworten »



So da passt es wieder mit dem überein, was ich aus meinen Unterlagen entnehmen konnte.

Wenn ich jetzt nach dem weitergehen würde, müsste ich

ausrechnen und auf das der linken Seite kommen.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der linken Seite? Das passt irgendwie nicht zusammen. Aber ausmultiplizieren ist schon mal eine gute Idee. Irgendwann musst du dann auch noch benutzen, dass alle sind oder gilt.


Gruß, therisen
Bujashaka Auf diesen Beitrag antworten »

Ehm, ich muss auf das kommen, dass auf der rechten Seite steht und nicht auf der linken... sorry.

Also wenn ich es ausmultipliziere bekomme ich das hier:



und solangsam verzweifel ich hier...
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bujashaka
Ehm, ich muss auf das kommen, dass auf der rechten Seite steht und nicht auf der linken... sorry.

Also wenn ich es ausmultipliziere bekomme ich das hier:



und solangsam verzweifel ich hier...


Das ist doch schon mal gut. Jetzt musst du nur noch zeigen, dass gilt. Dazu brauchst du jetzt die Bedingung für die . Dann bist du fertig.
Bujashaka Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich mir den Term ansehe, ist das logisch,
dass

ist.

Nur wie zeige ich das? Vorallem woher nehme ich die Bedingung von ?

Sorry, aber ich stehe völlig auf dem Schlauch... Hammer
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion - Ungleichung
Du hast aber ein schlechtes Gedächtnis:

Zitat:
Original von Bujashaka
seien reelle Zahlen mit für alle i oder mit für alle i.
Bujashaka Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion - Ungleichung
Ok. . In dem einen Fall wird mir ja vorgegeben, dass , also wir die Summe daraus min. gleich 0 oder größer als 0 sein.

Beim zweiten soll . Für diesen Fall kann der Ausdruck nicht größer oder gleich 0 werden...

Nur wie setzt man das rechnerisch um?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bujashaka
Beim zweiten soll .

Nein, da steht , das bedeutet und gleichzeitig .
Bujashaka Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, habs mal wieder einfach umgedreht. Trotzdem, weiss ich nicht damit umzugehen.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion - Ungleichung
Zitat:
Original von Bujashaka
Ok. .


Das ist Käse. Das ist schon besser:
Zitat:
Original von Bujashaka
In dem einen Fall wird mir ja vorgegeben, dass , also wir die Summe daraus min. gleich 0 oder größer als 0 sein.

Beim zweiten soll . Für diesen Fall kann der Ausdruck nicht größer oder gleich 0 werden...

Nur wie setzt man das rechnerisch um?


Ich würde mal sagen, der Fall für ist trivial. Für den anderen Fall, also wenn gilt, ist und , sodass ihr Produkt größer oder gleich Null ist.


Gruß, therisen
Bujashaka Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion - Ungleichung
Wäre damit die Induktion abgeschlossen?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Jep.
Bujashaka Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann mal lieben herzlichen Dank.

Hast du vllt mal eine Quelle, wo etwas zur Induktion von Ungleichungen geschrieben ist??? Ich glaube ich sollte mich mal ein wenig damit befassen Hammer
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

[Workshop] Vollständige Induktion

Augenzwinkern
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Mal rein Interessehalber: Du machst nicht zufällig gerade den Online-Ferienvorkurs der TU München? Vom Timing her würde das nämlich gut passen Augenzwinkern
n! Auf diesen Beitrag antworten »

Die 1.10 ist echt interessant. Schade, dass es dazu keine Lösung gibt.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

@n!) Mein Beweis ist jetzt fertig. Die Aufgabe hatte es echt in sich. Der Hinweis, so unverständlich er am Anfang auch klingen mag, ist äußerst hilfreich. Man muss ihn nur lange und ausführlich genug untersuchen (es empfiehlt sich nicht das zu verwenden um den Wald vor lauter Bäumen nicht zu übersehen) smile Ich werde ihn morgen mal -isieren (sofern ich das Chaos auf meinem Blatt entziffern kann).

Gruß, therisen
n! Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,danke für die Mühe therisen. Bin schon gespannt auf deine Rechnungen.smile

Die restlichen Aufgaben sind ja eher so der Standart, der in den Vorlesungen auch bewiesen wird. Aber die 1.10 sticht schon sofort ins Auge
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