Irreduzibilität von Polynomen

15.06.2009, 16:32

Epsilon82

Irreduzibilität von Polynomen

Hallo,

habe eine kleine Aufgabe, die ich bereits gelöst habe und nun frage, ob die Lösung so richtig ist.

Aufgabe: Q[X] als das Polynom über den rationalen Zahlen.
Zeigen Sie die Irreduzibilität von

x^5-3*x^4+3

Meine Lösung:
Eine mögliche Zerlegung in das Produkt geht nur, für Nullstellen a, die 3 teilen, also
+-1 und +-3.
Diese für x eingesetzt ergeben aber nicht 0 ==> irreduzibel in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und nach Satz aus der Vorlesung auch nach Q.

Alternativ hatte ich versucht eine konkrete Zerlegung in Linearfaktoren anzugeben. Ist mir nicht gelungen.

Edit: LaTeX korrigiert. Gruß, Reksilat.

15.06.2009, 16:57

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Hallo,
ne das ist nicht richtig. Eine Zerlegung könnte einen Faktor vom Grad 2 und einen Faktor von Grad 3 haben.

Bsp: t^5 - 2t^3 - 2t^2 + 4 hat keine Nullstelle in Q, aber t^5 - 2t^3 - 2t^2 + 4=(t^3 - 2)(t^2 - 2), womit es eben nicht irreduzibel ist.

Stichwort für dein Polynom: Eisenstein-Kriterium

17.06.2009, 13:47

Epsilon82

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Hallo,

das Eisenstein-Kriterium haben wir heute erst gemacht. Ich dachte, man müsse es irgendwie anders herausbekommen. Für p=3 gilt es ja, p ist ja dann prim.
Nun habe ich die Lösung gefunden,
jedoch noch eine kleine Frage:

Muss ich dafür noch zeigen, dass das Polynom:
x^5 - 3*x^4 + 3 ein faktorieller Integritätsring ist?

Ich befürchte schon, oder?

Und noch eine andere Frage:
Wir sollen Minimalpolynome angeben für a:= 3^(1/2) + 5^(1/2) in Q.
Für Q(5^(1/2) und Q(15^(1/2) konnte ich es angeben, aber zu Q fällt es mir nicht ein.

Hat jemand einen Tipp?

Grüße

17.06.2009, 23:47

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Hallo,
x^5 - 3*x^4 + 3 ist kein Ring o.ä., sondern (vermutlich) nur ein Polynom aus irgendeinem Polynomring (z.B Q[x]).
Für diesen musst du ggf. zeigen, dass dieser ein faktorieller Int.ring ist, sofern es nicht schon klar ist (was in den meisten Fällen so ist).

Minimalpolynome für Zahlen mit irgendwelchen Wurzeln zu finden ist nicht so schwer.

Quadiere dieses, dann bekommst du Wurzel(x) + y, wobei a,b je rationale Zahlen sind.

Dann weiß man:
a^2 - y = Wurzel(x)
=>(a^2 - y)^2 = x

Dann einfach alle a in der Gleichung durch x ersetzen und schon hat man schon fast das Min.pol.

18.06.2009, 11:33

Epsilon82

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Achso,

hatte bisher immer die Fälle
(a^2-x) oder
(a-x)^2 betrachtet,
aber so habe ich es schon raus.
Danke

19.06.2009, 18:08

Epsilon82

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So, habe die Aufgabe soweit aufgeschrieben.
Als Erinnerung:
Zu zeigen ist, dass (*) $\begin{eqnarray*} x^5-3 \cdot x ^4 +3 \end{eqnarray*}$ ist irreduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[x] \end{eqnarray*}$ .

1. Q[x] ist faktorieller Ring, denn
Q ist Körper und für beliebige q ungleich 0 und x aus Q gilt stets:
q*x=0 <=> x=0. Also ist Q nullteilerfrei und damit faktorieller Ring.

2. Daher gilt das Eisenstein-Kriterium für p=3 prim.
für $\begin{eqnarray*} a_5=1, a_i=3, a_0=1 \end{eqnarray*}$ , dass

3 nicht 1 teilt
3 teilt 3
3^2 teilt 3 nicht.
Also ist die Behauptung durch das Eisenstein-Kriterium gezeigt.
(*) ist irreduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[x] \end{eqnarray*}$ .

Ist doch richtig, oder?
Gruß
Epsilon

20.06.2009, 12:44

Epsilon82

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Hatte mich doch zu früh gefreut, habe nämlich noch einen Fehler gefunden und daher eine Frage:

Zitat:

Minimalpolynome für Zahlen mit irgendwelchen Wurzeln zu finden ist nicht so schwer. Quadiere dieses, dann bekommst du Wurzel(x) + y, wobei a,b je rationale Zahlen sind. Dann weiß man: a^2 - y = Wurzel(x) =>(a^2 - y)^2 = x Dann einfach alle a in der Gleichung durch x ersetzen und schon hat man schon fast das Min.pol.

Meine Zahle ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} + \sqrt{5} = a \end{eqnarray*}$

Nun habe ich getestet, dass das reine quadrieren oder auch das Potenzieren von a alleine nicht zum Erfolg führt.
Aber $\begin{eqnarray*} (\sqrt{3}+\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})= 3 - 5 \end{eqnarray*}$

Kann ich dann das Min.Polynom als
$\begin{eqnarray*} (a \cdot (-a) + 8) \end{eqnarray*}$ angeben? Zumindest kommt 0 heraus.
Grüße

29.06.2009, 12:48

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Hallo,
auch wenn es spät kommt:
Was ist denn -a? Bestimmt nicht sqrt(3) - sqrt(5) Augenzwinkern

Stattdessen rechnet man:
a^2 = 2*sqrt(3)*sqrt(5) + 8
=> a^2 - 8 = 2*sqrt(3)*sqrt(5)
=> (a^2 - 8)^2 = 4*3*5
=> (a^2 - 8)^2 - 60 = 0

Schon hat man das Polynom welches a als Nullstelle hat.

01.07.2009, 16:01

Epsilon82

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Hallo 42,

ja, das Problem hatten wir dann auch in der Übungsgruppe gelöst...
Trotzdem vielen lieben Dank für eine Antwort. Wink

Grüße
Epsilon

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