Abbbildungsmatrix, Basis des Kerns |
17.06.2009, 10:34 | sigmund7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Abbbildungsmatrix, Basis des Kerns Ich stehe vor folgender Aufgabe: "Sei eine lineare Abbildung mit der Abbilungsmatrix A und a ein Vektor aus , wobei und Untersuchen Sie, ob a im Bildraum liegt. Bestimmen Sie weiters eine Basis des Kerns von f." Soweit ich die Materie verstanden habe ist (also die Summe der Zeilen) das liegt offensichtlich schon im R^4 Der Kern ist gegeben durch Nur wie gehe ich nun weiter damit vor? Ich könnte versuchen nun dieses System mit Gauss zu lösen, aber erhalten ich dadurch eine bzw. mehrere Basen von f ? Bin für jeden konstruktiven Vorschlag dankbar! Grüße, Sigmund |
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17.06.2009, 10:44 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Da liegt ein kleiner Irrtum. Du sollst nicht prüfen, ob f(a) im IR^4 liegt, sondern ob es ein x gibt, das f(x)=a erfüllt. Also prüfe, ob das LGS Ax=a lösbar ist. Und für den Kern musst du in der Tat den Gauß-Algorithmus durchführen. Du erhältst jedoch keine Basis von f (Was soll das sein?) sondern eine des Kerns von f. Beziehungsweise auch mehrere, denn die Basis ist ja nicht eindeutig. |
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17.06.2009, 11:22 | sigmund7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Aja ok das erscheint mir einleuchtend: somit liegt f(a) nicht im Bildraum. Wenn ich nun das Ax=0 löse versuche, stelle ich fest das auch dieses LGS unlösbar. Sehe ich das richtig das in diesem Beispiel 4 Basen gibt? EDIT: Latex verbessert (keine Zeilenschaltungen) |
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17.06.2009, 11:36 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja, wenn man das Verfahren beherrscht.
Wieder falsch formuliert. Richtig muß es heißen: es gibt kein x mit f(x) = a.
Falsch. Ax = 0 ist immer lösbar.
Das ist zum einen falsch formuliert und zum anderen siehst du das falsch. Basen gibt es beliebig viele. Du meinst, daß es eine Basis mit 4 Elementen gibt. Aber auch das ist falsch. |
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17.06.2009, 11:38 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ax=0 kann nicht nicht lösbar sein. Es gibt immer zumindest die triviale Lösung. In diesem Fall gibt es jedoch noch mehr Lösungen. Und es gibt unendlich viele Basen. |
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17.06.2009, 14:15 | sigmund7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Was genau habe ich falsch gemacht? Nur mal nochmal gefragt: Im Prinzip muss ich, um diese Aufgabenstellung zu bestreiten mittels Gauss prüfen ob 1.) das LGS Ax=a und 2.) das LGS Ax=0 lösbar ist. |
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17.06.2009, 14:27 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das kann ich dir erst sagen, wenn du deine Rechnung hier postest.
Nochmal: Ax=0 ist immer lösbar. Und um den Kern von f zu bestimmen, mußt du nicht nur prüfen, ob Ax=0 lösbar ist (was - wie gesagt - sowieso immer der Fall ist), sondern du mußt eine Basis finden, die den Kern aufspannt. |
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17.06.2009, 15:30 | sigmund7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also bei mir sieht das aus wie folgt: Dieses System ist offenbar mehrdeutig lösbar, für Die Lösungen des Systems sind von der Form:
Wenn ich das nun richtig verstanden habe spann jedes \lamda den Kern auf? |
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17.06.2009, 15:38 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das ist nicht dein Ernst, oder?
Nein. Der Kern wird von Basisvektoren aufgespannt. Man schreibt dann: Kern(f) = span<v_1, ... v_n>, wobei die v_i linear unabhängige Lösungen des GLS sind. |
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17.06.2009, 15:54 | sigmund7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Oh, Danke ein peinlicher Tippfehler.
Tut mir leid, aber ich bekomm das noch immer nicht gebacken, wie finde ich nun eine Basis die den Kern aufspannt? |
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17.06.2009, 16:07 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Damit wird es auch nicht besser. Denk mal genau nach.
Nehme beispielsweise die Vektoren, die hinter deinen Parametern stehen. |
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17.06.2009, 17:29 | sigmund7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nun gut, Heute ist nicht mein Tag: 3x_3 = 0 -> x_3 = 0 Also ich bin schon wieder verwirrt, ich sehe *hinter* meinem Parameter \lamda nur einen Vektor und zwar, oder ist jedes \lamda fache dieses Vektors auch eine Basis die den Kern aufspannt? |
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18.06.2009, 09:59 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du kannst genau diesen Vektor oder auch jedes beliebige Nicht-Null-Vielfache davon als Basisvektor nehmen. |
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