Skalarprodukt

18.06.2009, 11:35

rubs1989

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Skalarprodukt

Hi, ich habe folgendes Problem:
Sei V ein K-Vektorraum mit Skalarprodukt (<-|->). Seien U,W Unterräume von V mit
(a) V=U+W
(b) <U|W> = 0 (Soll heißen: Skalarprodukt von u und w ist gleich Null für alles u und w)
(Das orthogonale Komplement von U nenne ich T)
Man zeige: W = T
Also zu zeigen sind ja zwei Teilmengenbeziehungen:
1. "T Teilmenge W". Das heisst ich nehme mir ein Element v aus T. Für das gilt nach Voraussetzung: <v|u> = 0. Zu zeigen ist nun, dass v auch Element aus W ist. Also das gilt: <v|w>=0.
Ich alle Möglichkeiten ausprobiert <v|w> so umzuformen, dass ich sagen kann, dass es Null wird, komme aber auf kein Ergebnis. Also entweder ich habe den falschen Ansatz oder ich rechne es falsch um.
Also wenn mir jemand bei dieser Teilmengenbeziehung auf die Sprünge helfen könnte wäre das super, die andere ist ja dann im Prinzip das gleiche.
Mfg
rubs1989

18.06.2009, 11:38

tigerbine

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Rückfrage
Mmh, etwas komisch die Aufgabe. Also für W darfst du (a), (b) verwenden. Für T die Definition des orthogonalen Komplements?

Ist das soweit richtig verstanden?

18.06.2009, 11:45

rubs1989

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Skalarprodukt
Jup genau richtig verstanden. Also (a) und (b) sind die Vorraussetzungen und dann kann man noch die Definition vom orthogonalen Komplement mit hinzunehmen.

18.06.2009, 11:47

tigerbine

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RE: Skalarprodukt
Ok, was weißt du denn über das orthogonale Komplement. Sprich, schreib mal die Definition rein.

18.06.2009, 11:51

rubs1989

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Skalarprodukt
Alles klar:
T= {v element V | <v|u>=0 für alle u element U}

18.06.2009, 11:58

tigerbine

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RE: Skalarprodukt
Ok. Weißt du auch, dass gilt

$\begin{eqnarray*} V=U \oplus T \end{eqnarray*}$

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18.06.2009, 12:32

rubs1989

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Ja, das weiß ich auch.

18.06.2009, 12:35

tigerbine

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Das ist doch Prima. Also im orthogonalen Komplement, haben wir ja "alle" Vektoren aus V drinnen, die zu denen aus U orthogonal sind.

Das bedeutet doch wegen (b) $\begin{eqnarray*} W \subseteq T \end{eqnarray*}$ . Stimmst du mir da zu?

18.06.2009, 12:48

rubs1989

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Skalarprodukt
Also ich gebe das nochmal so wieder wie ich das verstanden habe.
Also in T befinden sich alle Vektoren aus V, die zu denen Vektoren aus U orthogonal sind. Da (nach b) alle Vektoren u orthogonal zu allen Vekotren w sind, müssen alle Vektoren w orthogonal zu v sein und somit gilt $\begin{eqnarray*} W \subseteq T \end{eqnarray*}$ .
Ist das richtig und $\begin{eqnarray*} V=U \oplus T \end{eqnarray*}$ habe ich hier noch gar nicht verwendet oder?

18.06.2009, 12:52

tigerbine

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RE: Skalarprodukt
Richtig.

Zitat:

Also in T befinden sich alle Vektoren aus V, die zu denen Vektoren aus U orthogonal sind.

Das ist ja gerade die Definition des orthogonalen Komplementes.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} V=U \oplus T \end{eqnarray*}$ habe ich hier noch gar nicht verwendet oder?

Auch das ist Richtig. Das ist ja eine Folgerung aus der Def. des orth. Komplements. Die brauchen wir nun, um "=" zu zeigen.

Hast du da eine Idee? Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.06.2009, 12:56

rubs1989

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Skalarprodukt
Also wenn ich zeige das $\begin{eqnarray*} V=U \oplus W \end{eqnarray*}$ ist, dann wär es gezeigt oder?

18.06.2009, 12:59

tigerbine

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RE: Skalarprodukt
Ja. Aber das würde ich nicht machen. Ich würde mir die Dimension von W anschauen. Was wissen wir bereits? Was muss aber dann wegen (a) gelten? Und dann folgt die Gleichheit zu T.

18.06.2009, 13:10

rubs1989

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RE: Skalarprodukt
Sorry, ich komme nicht weiter. Also ich würde sagen, dass aus b) folgt, dass dim(U)=dim(W), da ich zu jedem Vektor u einen orhtogonalen Vektor w habe. Ich wüsste dieses jetzt allerdings leider nicht anzuwenden unglücklich

unglücklich

18.06.2009, 13:12

tigerbine

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RE: Skalarprodukt
Nein, wir haben doch nur:

$\begin{eqnarray*} W \subseteq T \end{eqnarray*}$

Damit folgt auch nur:

$\begin{eqnarray*} \dim(W) \leq \dim(T) \end{eqnarray*}$

Wie kannst du dim T durch dim V ausdrücken?

Was sagt a) über die Dimension von W aus?

18.06.2009, 13:27

rubs1989

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RE: Skalarprodukt
Also weil $\begin{eqnarray*} V=U \oplus T \end{eqnarray*}$ folgt:
dim(T)=dim(V)-dim(U)
Mit a)
dim(T)=dim(U+W)-dim(U)=dim(U)+dim(W)-dim(U)=dim(W)???????

18.06.2009, 13:34

tigerbine

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RE: Skalarprodukt
$\begin{eqnarray*} \dim(T)=\dim(V)-\dim(U) \end{eqnarray*}$ , da es eine direkte Summe ist. Für alle UVR, für die gilt V=U+W, muss also gelten:

$\begin{eqnarray*} \dim(W) \geq \dim(T) = \dim(V)- \dim(U) \end{eqnarray*}$

Da aber $\begin{eqnarray*} W \subseteq T \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \dim(W)=\dim(T) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W=T \end{eqnarray*}$

Deine Rechnung stimmt so nicht U+W ist ja nicht als direkt vorausgesetzt. Da musst du ja noch die Dimension des SChnitts abziehen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Dimensionsformel

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