Bundeswettbwerb 77 1.Runde

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++Alpha++ Auf diesen Beitrag antworten »
Bundeswettbwerb 77 1.Runde
Ich lese immer noch Mathematische Lösungsstrategien von Wolfgang Mayer und hänge jetzt an einer Aufgabe aus dem Kapitel über Systematisches Probieren:

Beweise: Durchläuft n die Natürlichen Zahlen so durchläuft die natürlichen Zahlen mit Ausnahme der Quadratzahlen

sei dabei die gröste ganze zahl z für die gilt:

Ich habe dann nach systematischem Probieren folgende Vermutung aufgestellt:

es gilt für jedes Natürliche n das keine Quadratzahl ist

Das habe ich jetzt versucht über folgenden Satz zu beweisen:

sei x positiv und reel und n Natürlich dann gilt genau dann wenn und x kleiner n+1

d.h. ich müsste "nur" noch zeigen das größergleich n ist und kleiner n+1 ist (immer vorausgesetzt das n keine Quadratzahl ist)
leider verhaspel ich mich immer in diesem ungleichungswirwarr und es kommt je nach tagesform was anderes raus traurig

Und dann wäre da ja noch die sache mit dem durchlaufen.
Reicht es da zu zeigen das
streng monoton monoton steigend ist?
ist das mit der Ungleichung überhaupt der richtige weg oder gibt es da eine elegantere Methode?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest dir das Leben erleichtern, wenn du geeignet substituierst. Z.B. bedeutet "n ist keine Quadratzahl", dass es mit

und

gibt. Dann kannst du nämlich sehr schnell für dein



berechnen, sowie weiter

,

letzteres wegen

für alle .
++Alpha++ Auf diesen Beitrag antworten »

So hab mich jetzt mal durchgearbeitet und glaube dank der substitution einen (vollsändigen ?) Beweis zu haben. Also:

es sei mit
und mit
Hilfssatz 1 : es gilt mit und (muss man das noch beweisen? das folgt doch praktisch aus der Definition.)

als erstes zeigt man das streng monoton steigend ist, indem man folgende Ungleichung zeigt:
dann zeigt man das es für jede natürliche zahl n gilt
dazu zeigt man zuerst mit dazu zeigt man nach HS1 das

was nach substitution richtig ist. und


nun muss man nur noch wieder mit dem Hilfssatz beweisen (das schreib ich jetzt nicht auf) dabei sieht man auch das das für k = 0 ( d.h. n ist quadratzahl) nicht gilt.
über zwe weitere ungleichungsmonster zeigt man
und wegen diesen beiden Sätzen und gibt es keine Zahl n sodass gilt also folgt mit der streng monotonen Steigung von f das f alle natürlichen zahlen mit ausnahme der quadratzahlen durchläuft.

So ich hoffe der beweis stimmt. Ich hab jetzt hier halt 4 ungleichungen ausgespart aber die kann man als Übung selber Beweisen Big Laugh . Aufm Papier hab ich sie jedenfalls bewiesen, ich war nur zu faul nochmal 4 so Latex Monster abzutippen. Achja: die Aufgabe war nich von 1977 sondern von 1971/72 1.Runde.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ++Alpha++
Hilfssatz 1 : es gilt mit und

So formuliert ist das ziemlich sinnfrei. Meinst du vielleicht einfach

Zitat:
Original von ++Alpha++
Hilfssatz 1 : es gilt für alle

? Das kannst du getrost weglassen.


Zitat:
Original von ++Alpha++
dann zeigt man das es für jede natürliche zahl n gilt

Nein, eben nicht für jede natürliche Zahl - nur für jede Nichtquadratzahl!!!

Für Quadratzahlen gilt nämlich abweichend

.

Zitat:
Original von ++Alpha++
über zwei weitere ungleichungsmonster zeigt man


Das geht auch einfacher: Es ist

Dessen Monotonie für ist unmittelbar über die Verketttung erkennbar:

ist streng monoton wachsend
ist streng monoton wachsend für
ist monoton wachsend
++Alpha++ Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry der Hilfssatz sollte eigentlich heissen:
es gilt mit und x positiv und Reel genau dann wenn gilt und da hab ich den wichtigsten Teil ausversehen verschluckt.
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