Taylor + Wurzel

19.06.2009, 16:45

TimKoeln

Taylor + Wurzel

Hallo zusammen,

wie berechne ich $\begin{eqnarray*} \sqrt{41} \end{eqnarray*}$ mit Taylor?

Folgenden Lösungsvorschlag habe ich:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{41} = \sqrt{36+5} = \sqrt{36(1+ \frac{5}{36})} = 6\sqrt{1+ \frac{5}{36}} \end{eqnarray*}$

Taylorreihe:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x} = 1+\frac{1}{2}x- \frac{1}{2*4} x^{2} +\frac{1*3}{2*4*6} x^{3} \end{eqnarray*}$

dann für x -> $\begin{eqnarray*} \frac{5}{36} \end{eqnarray*}$ einsetzen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{41} = 6*(1+\frac{1}{2}x- \frac{1}{2*4} x^{2} +\frac{1*3}{2*4*6} x^{3}) \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig? Habt ihr vielleicht andere Möglichkeiten/Lösungen?

19.06.2009, 16:49

Duedi

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Sieht ziemlich gut aus, du darfst nur rein formal kein "=" schreiben in der Zeile
$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{16}x^3 \end{eqnarray*}$
Stattdessen halt ein " $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ " oder mach Pünktchen hinter den letzten Term. Dasselbe dann in der letzten Zeile.
Was spricht eigentlich dagegen, gleich $\begin{eqnarray*} \sqrt x \end{eqnarray*}$ mit einer Taylorreihe zu approximieren?

19.06.2009, 17:04

TimKoeln

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Zitat:

Original von Duedi
Sieht ziemlich gut aus, du darfst nur rein formal kein "=" schreiben in der Zeile

Danke für den Hinweis.

Zitat:

Was spricht eigentlich dagegen, gleich $\begin{eqnarray*} \sqrt x \end{eqnarray*}$ mit einer Taylorreihe zu approximieren?

Das weiss ich nicht genau, die Taylorreihe $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x} \approx 1+\frac{1}{2}x- \frac{1}{2*4} x^{2} +\frac{1*3}{2*4*6} x^{3} \end{eqnarray*}$
hab ich genommen, weil ich keine andere gefunden habe. Gibt es eine andere Möglichkeit?

19.06.2009, 17:25

Duedi

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Du bestimmst die Taylorreihe der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ im Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0 = 1 \end{eqnarray*}$ :

Erst einmal die Ableitungen von f:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\\f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}\\f'''(x)=\frac{3}{8}x^{-\frac{5}{2}} \end{eqnarray*}$

Dann als Taylorpolynom ansetzen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x}\approx \sum_{k=0}^3\frac{f^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^k=1+\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{16}(x-1)^2+\frac{3}{48}(x-1)^3 \end{eqnarray*}$

Dann für x 41 einsetzen und ausrechnen.

EDIT: Formel berichtigt

19.06.2009, 17:28

TimKoeln

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Vielen Dank! Augenzwinkern

Müsste da nicht noch die Fakultät rein?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x}\approx \sum_{k=0}^3\frac{f^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^k=1+\frac{1}{2*1!}(x-1)-\frac{1}{4*2!}(x-1)^2+\frac{3}{8*3!}(x-1)^3 \end{eqnarray*}$

Oder hab ich da einen Denkfehler?

19.06.2009, 17:33

Duedi

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Ups, sry, ich habe das $\begin{eqnarray*} k! \end{eqnarray*}$ vergessen, ich berichtige gleich mal meine Formel.

EDIT: Hm, da ist immer noch irgendwo ein Rechenfehler drin, aber das Prinzip sollte stimmen. Rechne am Besten die Ableitungen selbst, da habe ich bestimmt geschludert.

19.06.2009, 17:40

TimKoeln

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Ok, jetzt haben wir uns überschnitten, Dank Dir vielmals. Das Prinzip hab ich jetzt prima verstanden Augenzwinkern

Also die Ableitungen sind richtig,... das Ergebnis nicht,... aber den Fehler find ich nicht....

Gruss
Tim

19.06.2009, 17:58

TimKoeln

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Kann es sein, das die Reihe nur von $\begin{eqnarray*} -1 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert?

Warum das so ist (wenn es so ist) weiss ich aber nicht.

19.06.2009, 18:02

Duedi

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Das habe ich mir auch erst gedacht, aber eine Konvergenzreihenbetrachtung verneint das.

19.06.2009, 18:33

Duedi

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Habe mich geirrt, die Konvergenz ist tatsächlich stark eingeschränkt. Allerdings nicht auf [-1;1] (denn auf negativen Werten ist die Wurzel im Reellen ja nicht definiert), sondern auf [0;2].

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