Anzahl Elemente der Ordnung x in einer Restklassengruppe |
20.06.2009, 11:17 | dum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Anzahl Elemente der Ordnung x in einer Restklassengruppe Der Titel sagt schon, um welchen Aufgabentyp es geht. Konkretes Beispiel: Bestimme die Anzahl der Elemente der Ordnung 12 in der Gruppe Ich weiß: ist zyklisch, und daher gibt es für jeden Teiler der Gruppenordnung (=12000) genau eine Untergruppe der Mächtigkeit . g ist Element der Untergruppe der Mächtigkeit 12, welche gerade ist. Mir ist auch die Lösung bekannt: Wobei die Eulersche phi-Funktion ist und bekanntermaßen ABER mir fehlt der Link zwischen (i),(ii) und der Lösung mit der Eulerschen phi-Funktion. Wäre froh, wenn mir das jemand erklären könnte. |
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20.06.2009, 13:26 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Anzahl Elemente der Ordnung x in einer Restklassengruppe Als Elemente der Ordnung 12 kommen offensichtlich nur 1000 und Vielfache davon infrage. Der Beweis ist simpel. Damit ist die Aufgabe identisch mit: Bestimme die Anzahl der Elemente der Ordnung 12 in der Gruppe Wenn nun eine ganze Zahl x einen Teiler ungleich 1 mit 12 gemeinsam hat, ist die Ordnung von x < 12. Damit ist der Zusammenhang mit gegeben. Beispiel: x = 8 hat den Faktor 4 mit 12 gemeinsam. Es ist 3*4 = 12 und die Ordnung von 8 ist 3. Aus diesem Beispiel ist der allgemeine Beweis ersichtlich. |
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20.06.2009, 15:39 | dum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Anzahl Elemente der Ordnung x in einer Restklassengruppe Hallo Danke für deine Antwort. Ein paar Sachen sind mir noch nicht klar.
OK.
Warum darf ich nun die Aufgabe auf "herunterziehen"?
Es lässt sich also allgemein (für ) sagen: wenn (x,n) nicht teilerfremd, dann o(x)<n ? (Und damit: ) ? |
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20.06.2009, 16:04 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Anzahl Elemente der Ordnung x in einer Restklassengruppe
Weil du bei durch 1000 kürzen kannst.
Ja. |
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20.06.2009, 16:26 | dum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Anzahl Elemente der Ordnung x in einer Restklassengruppe
Ah, so hatte ich das noch gar nicht betrachtet. Dieser Thread bringt einen echten Lerngewinn Danke. |
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