Anzahl Elemente der Ordnung x in einer Restklassengruppe

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dum Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl Elemente der Ordnung x in einer Restklassengruppe
Hallo

Der Titel sagt schon, um welchen Aufgabentyp es geht. Konkretes Beispiel:

Bestimme die Anzahl der Elemente der Ordnung 12 in der Gruppe

Ich weiß:
ist zyklisch, und daher gibt es für jeden Teiler der Gruppenordnung (=12000) genau eine Untergruppe der Mächtigkeit .
g ist Element der Untergruppe der Mächtigkeit 12, welche gerade ist.

Mir ist auch die Lösung bekannt:
Wobei die Eulersche phi-Funktion ist und bekanntermaßen

ABER mir fehlt der Link zwischen (i),(ii) und der Lösung mit der Eulerschen phi-Funktion. Wäre froh, wenn mir das jemand erklären könnte.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl Elemente der Ordnung x in einer Restklassengruppe
Als Elemente der Ordnung 12 kommen offensichtlich nur 1000 und Vielfache davon infrage. Der Beweis ist simpel. Damit ist die Aufgabe identisch mit:

Bestimme die Anzahl der Elemente der Ordnung 12 in der Gruppe

Wenn nun eine ganze Zahl x einen Teiler ungleich 1 mit 12 gemeinsam hat, ist die Ordnung von x < 12. Damit ist der Zusammenhang mit gegeben. Beispiel: x = 8 hat den Faktor 4 mit 12 gemeinsam. Es ist 3*4 = 12 und die Ordnung von 8 ist 3. Aus diesem Beispiel ist der allgemeine Beweis ersichtlich.
dum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl Elemente der Ordnung x in einer Restklassengruppe
Hallo

Danke für deine Antwort. Ein paar Sachen sind mir noch nicht klar.

Zitat:
Als Elemente der Ordnung 12 kommen offensichtlich nur 1000 und Vielfache davon infrage.


OK.

Zitat:
Damit ist die Aufgabe identisch mit:

Bestimme die Anzahl der Elemente der Ordnung 12 in der Gruppe


Warum darf ich nun die Aufgabe auf "herunterziehen"?

Zitat:
Wenn nun eine ganze Zahl x einen Teiler ungleich 1 mit 12 gemeinsam hat, ist die Ordnung von x < 12.


Es lässt sich also allgemein (für ) sagen: wenn (x,n) nicht teilerfremd, dann o(x)<n
?
(Und damit: ) ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl Elemente der Ordnung x in einer Restklassengruppe
Zitat:
Original von dum
Warum darf ich nun die Aufgabe auf "herunterziehen"?

Weil du bei



durch 1000 kürzen kannst.


Zitat:
Es lässt sich also allgemein (für ) sagen: wenn (x,n) nicht teilerfremd, dann o(x)<n
?

Ja.
dum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl Elemente der Ordnung x in einer Restklassengruppe
Zitat:
Original von Huggy
Weil du bei



durch 1000 kürzen kannst.

Ah, so hatte ich das noch gar nicht betrachtet. Dieser Thread bringt einen echten Lerngewinn Idee! Danke.
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