Lyapunoffexponent bestimmen

22.06.2009, 16:31	7berger	Auf diesen Beitrag antworten »
Lyapunoffexponent bestimmen Hey Leute, ich stehe hier vor einer Aufgabe aus dem Themenbereich Dynamische Systeme, die mir nicht ganz einfach erscheint: Es sollte eine Lösung von $\begin{eqnarray} \begin{bmatrix}a(t) & b(t) \\ 0 & c(t)\end{bmatrix}x \end{eqnarray}$ zum Anfangswert $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ gefunden werden. Ok die habe ich auch und sie lautet: $\begin{eqnarray} \Phi(t)=\binom{x_{1}(t)}{x_{2}(t)}=\begin{bmatrix}e^{\int^{t}a(s)ds} & \int^{t}b(t)e^{\int^{t}(c(s)-a(s))ds}dt \\ 0 & e^{\int^{t}c(s)ds}\end{bmatrix}\binom{x_{10}}{x_{20}} \end{eqnarray}$ Jetzt zum schwierigen Teil. Ich soll die Werte bestimmen, die der Lyapunoffexponent $\begin{eqnarray} \bar{\lambda} \end{eqnarray}$ annehmen kann, wobei wir den definiert haben als: $\begin{eqnarray} \bar{\lambda}(x)=\limsup_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t}\log\|\Phi(t)x\| \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \|\cdot\| \end{eqnarray}$ eine beliebige Norm auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^{d} \end{eqnarray}$ ist. Wichtig ist auch, dass $\begin{eqnarray} a,c:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ stetig ist und $\begin{eqnarray} b:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ stetig und beschränkt. Hm ok, um mich erstmal ranzutasten an das Ganze wollte ich eine Fallunterscheidung probieren, nämlich einmal wenn $\begin{eqnarray} b=0 \end{eqnarray}$ ist und einmal wenn $\begin{eqnarray} b \neq 0 \end{eqnarray}$ ist. Für $\begin{eqnarray} b=0 \end{eqnarray}$ ist die Fundamentalmatrix nun jetzt eine Diagonalmatrix und als Norm kann ich z.B. die Betragssummennorm nehmen. Dann hätten wir für den Lyapunoffexponenten dann stehen: $\begin{eqnarray} \bar{\lambda}(x)=\limsup_{t \rightarrow \infty} \frac{\int^{t}a(s)ds}{t} \end{eqnarray}$ Jetzt müsste man doch wieder unterscheiden oder? Einmal wenn das Integral endlich ist (dann müsste der limsup ja 0 sein. und einmal wenn das Integral unendlich ist, dann könnte man doch l`hospital anwenden? Ich weiß nur nicht wie ich das Ganze konkret aufschreiben könnte. Zumal ich für $\begin{eqnarray} b \neq 0 \end{eqnarray}$ noch keinerlei Ansatzpunkt habe. Das müsste man ja dann irgendwie abschätzen und irgendwie 0 werden lassen, sodass wir wieder beim 1. fall wären... gruß
22.06.2009, 18:47	7berger	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab mir mal weiter gedanken gemacht. Für $\begin{eqnarray} b=0 \end{eqnarray}$ werd ich den Lyapunoffexponenten wohl so stehen lassen. Für $\begin{eqnarray} b \neq 0 \end{eqnarray}$ hätte ich als Idee, dass irgendwie abzuschätzen und zu zeigen, dass die nebendiagonale nicht dominiert. nur krieg ich das nicht hin?? weiß einer von euch weiter? gruß

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