zyklische Gruppe und Eulerische Funktion

23.06.2009, 12:44	eppi1981	Auf diesen Beitrag antworten »
zyklische Gruppe und Eulerische Funktion Aufgabe: Sei (G,) eine zyklische Gruppe der Ordnung n und d > 0 sei ein Teiler von n . Beweisen Sie: Die Anzahl der Elemente der Ordnung d in (G,) ist gleich $\begin{eqnarray} \phi(d) \end{eqnarray}$ Kann mir jemanden helfen, ich habe leider keine Ideen.
23.06.2009, 12:55	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl Elemente der Ordnung x in einer Restklassengruppe
24.06.2009, 23:15	eppi1981	Auf diesen Beitrag antworten »
trotz den Link verstehe ich nicht wie ich das beweisen soll und kann
25.06.2009, 10:54	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi eppi, Für jeden Teiler $\begin{eqnarray} d\|n \end{eqnarray}$ hat $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ genau eine Untergruppe $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ der Ordnung $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ . Damit liegen sämtliche Elemente der Ordnung $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ . Jetzt musst Du eigentlich nur noch verwenden, was dieses $\begin{eqnarray} \varphi (d) \end{eqnarray}$ eigentlich ist. Gruß, Reksilat.
25.06.2009, 10:56	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@eppi1981 Es wäre wirklich wünschenswert, dass du zumindest die Initiative zeigst zu sagen, was genau du nicht verstehst - auch im anderen aktuellen Thread von dir. Dieses pauschale "alles" ist inakzeptabel für jemand, der doch die Hochschulreife irgendwie geschafft haben muss. Zyklische Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ heißt, dass man sämtliche Gruppenelemente durch $\begin{eqnarray} 1, a , a^2, \ldots, a^{n-1} \end{eqnarray}$ auflisten kann, mit einem geeignet gewählten Erzeuger $\begin{eqnarray} a\in G \end{eqnarray}$ . Was kann man nun aus dem Beitrag von Huggy herauslesen: Was charakterisiert Gruppenelemente $\begin{eqnarray} a^k \end{eqnarray}$ mit Ordnung $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ ? Nun, für die muss erstmal notwendig $\begin{eqnarray} (a^k)^d = a^{k\cdot d} = 1 \end{eqnarray}$ gelten, was nur für $\begin{eqnarray} n \| (k\cdot d) \end{eqnarray}$ möglich ist. Umgeschrieben bedeutet das, dass $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ein Vielfaches von $\begin{eqnarray} \frac{n}{d}=:t \end{eqnarray}$ sein muss. Betrachten wir nun alle die diese notwendige Bedingung erfüllenden Elemente $\begin{eqnarray} 1, a^t , a^{2t}, \ldots, a^{(d-1)t} \end{eqnarray}$ , diese $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ Elemente bilden eine zyklische Untergruppe von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ , und zwar der Ordnung $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ ... Und jetzt denk mal weiter nach. EDIT: Zu spät... aber zumindest ein anders formulierter Zugang.

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