Produkt positive definiter Matrizen |
23.06.2009, 12:56 | eierkopf1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Produkt positive definiter Matrizen Folgendes ist zu zeigen: "Wenn und positiv definit sind, dann ist auch positiv definit." Meine Gedanken bis jetzt: Da A und B positiv definit sind, sind A und B normal und damit unitär diagonalisierbar. (wobei D eine Diagonalmatrix und U,V unitäre Matrizen sind) Wenn positiv definit, dann muss gelten: Jetzt sollte man wahrscheinlich geschickt umformen. Aber ich komme nicht weiter. Hat jemand eine Idee dazu? |
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23.06.2009, 13:29 | marodeur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
es ist ja und spontan würd ich mal sagen: wenn man x und y mal als gleiche einheitsvektoren wählt, dann bekommt man in der mitte die Identität. bei unterschiedlichen, erhält man informationen über bestimme produkte der elemente von A und B. |
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23.06.2009, 13:40 | eierkopf1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich muss es doch nicht nur für einen Vektor zeigen, sondern für alle, dass Und wie kommst du auf ? Oder verstehe ich das falsch |
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23.06.2009, 14:02 | marodeur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
man kann doch 2 reelle Zahlen größer Null Multiplizieren und erhält wieder eine reelle Zahl größer Null. und mit den einheitsvektoren kann man jeden anderen vektor darstellen. ich seh gerade, das mit der Identität ist Blödsinn, ist natürlich auch nur ein solches produkt. |
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23.06.2009, 14:30 | eierkopf1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Was genau meinst du jetzt mit Blödsinn? |
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23.06.2009, 17:45 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nur weil du die Aufgabenstellung wieder mal nicht ordentlich abgeschrieben hast, habe ich jetzt meine Zeit verplempert. Die Aussage ist falsch. Wähle z.B. und |
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23.06.2009, 17:57 | eierkopf1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Danke fürs Gegenbeispiel. Was meinst du mit ordentlich abschreiben? Ich habs eigentlich rüberkopiert. Es steht genau so in der Angabe. Oder meinst du die Definition für pos.def.? EDIT: Du meinst "Folgendes ist zu zeigen". Sorry. Ich war überzeugt, dass es richtig ist. |
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23.06.2009, 19:02 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wie kann man da nur sicher sein... Es hätte da stehen sollen: "Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage stimmt:". Ändere das auch in deinem anderen Thread. Da hast du es auch vergessen. |
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23.06.2009, 20:08 | eierkopf1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Beim anderen Thread:Es steht "Zeigen Sie: ..." in der Angabe. Zum Thema nochmal: Wir haben in der Vorlesung positiv definit nur für selbstadjungierte Matrizen definiert. Bei deinem Gegenbeispiel und auch bei allen, die ich finden konnte, ist das Produkt eine nicht-symmetrische Matrix. Über diese kann ich doch nicht sagen, dass sie positiv definit bzw. nicht positiv definit ist. Das ist so, wie wenn man über die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt nachdenkt, an dem die Funktion gar nicht definiert ist. Ich finde schon, dass man die Aussage oben wiederlegt hat, aber ob mein Prof. die selbe Meinung hat, weiß ich nicht. |
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24.06.2009, 00:48 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das weiß ich auch nicht. Das hängt von der Definition ab. Def 1: Eine reelle nxn-Matrix A heißt positiv definit, wenn sie symmetrisch ist und für alle gilt. Def 2: Eine symmetrische (reelle) nxn-Matrix A heißt positiv definit, wenn für alle gilt. Benutzt ihr Def 1, dann ist die Aussage mit meinem Gegenbeispiel widerlegt, denn AB ist hier nicht symmetrisch. Benutzt ihr allerdings Def 2, dann ist die Aussage sinnlos, denn man kann ja auch nicht sagen, dass z.B. eine Funktion einfach zusammenhängend ist. |
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24.06.2009, 08:08 | eierkopf1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wir benutzen diese: Sei mit A heißt positiv definit, wenn für alle gilt. Also im reellen entspricht das deiner Def2. Danke für die Hilfe |
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24.06.2009, 10:18 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Der Unterschied zwischen Def 1 und Def 2 ist doch nur der, dass bei Def 2 die Möglichkeit nichtsymmetrischer positiv definiter Matrizen offen gelassen wird - wobei man dann definieren müsste, was man darunter versteht. Soweit mir bekannt ist, wird sowas nicht unter dem Begriff "positiv definit" zugelassen. Es hätte auch weitreichende Konseqenzen, wenn man etwa jede quadratische Matrix mit für alle als positiv definit bezeichnet würde. So wäre etwa die Äquivalenz zur Aussage, dass alle Eigenwerte reell und positiv sind, nicht mehr gegeben: Schaut man sich WebFritzis obige Beispielmatrix an, so stellt man fest, dass nur positive Eigenwerte hat, dass es aber andererseits durchaus mit gibt, wie etwa . Kurzum, man sollte vielleicht besser die Finger von denkbaren "Erweiterungen" von Def 1 lassen. |
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24.06.2009, 14:01 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Unter Wikipedia schon. Allerdings bin auch ich der Meinung, dass man den Begriff "positiv definit" auf symmetrische (bzw. hermitesche) Matrizen (bzw. Operatoren) beschränken sollte.
Das ist richtig. Das gilt dann halt für den symmetrischen Anteil - nicht aber zwangsweise für die Matrix selbst (ich nehme an, du beschränkst dich hier auf reelle Matrizen).
Das ist richtig und hier auch nicht weiter verwunderlich. Dass die Matrix AB nur positive Eigenwerte hat, erklärt sich dadurch, dass sie symmetrisch und positiv definit ist bzgl. des durch B induzierten Skalarproduktes [x,y] := <Bx,y>.
Finde ich auch. Es verwirrt nur. Aber das sehen einige Leute wohl anders. |
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