Diagonalmatrix und Determinante

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eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalmatrix und Determinante
Hallo!

ist positiv definit.

zu Zeigen:
ist Diagonalmatrix

Mein Idee zu: ""

Da die Determinante das Produkt der Diagonalelemente bildet, muss A eine Dreiecksmatrix sein und da A positiv definit ist, muss A symmetrisch sein und damit eine Diagonalmatrix.

Meine Frage ist: Gilt die Richtung: Determinante von A ist das Produkt der Diagonalelemente A ist Dreiecksmatrix?

Das die Gegenrichtung gilt, ist mir klar.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagonalmatrix und Determinante
Das stimmt nicht:
Determinante von A ist das Produkt der Diagonalelemente A ist Dreiecksmatrix

Gegenbeispiel:




Das Produkt der Diagonalelemente ist 1 und A ist keine Dreiecksmatrix.


Wie könnte ich das obige Beispiel beweisen?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Wie willst du ein Beispiel beweisen?

Du hast ein Gegenbeispiel also ist die Aussage eben falsch, oder?
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagonalmatrix und Determinante
Mein Beweis für folgende Aussage ist falsch:

Zitat:
Original von eierkopf1
ist positiv definit.

zu Zeigen:
ist Diagonalmatrix


Die Aussage sollte aber schon richtig sein und die muss ich beweisen. Hast eine Idee für die Richtung ""?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Wie?

Deine Matrix A ist positiv definit und hat die Eigenschaft das det A = Produkt von Diageinträgen. Also genau das was im Satz gefordert ist. Aber sie ist eben keine Diagonalmatrix. Also kann => nicht richtig sein!
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben positiv-definit nur für selbstadjungierte Matrizen definiert. Was im reellen bedeutet: A muss symmetrisch sein.

Hätte ich vorher sagen müssen. Sorry geschockt
 
 
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß keiner mehr was dazu? traurig
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe darüber länger nachgedacht, und es scheint zu stimmen. Zumindest für n = 2 und n = 3. Augenzwinkern Leider habe ich es im allgmeinen Fall nicht beweisen können. traurig
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für dein Bemühen Freude

Ein Kollege hatte das Beispiel gelöst:

Ich nehme die Bezeichnung von Wikipedia:
http://de.wikipedia.org/wiki/Cholesky-Verfahren#Berechnung

Da A positiv definit folgt, dass für A eine Cholesky-Zerlegung mit existiert.



Es folgt:


Daraus folgt:



Daraus folgt, dass alle mit Null sind.

Damit ist G eine Diagonalmatrix und das Produkt eine Diagonalmatrix ist wieder eine Diagonalmatrix.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, aber der "Beweis" ist nicht schlüssig. Erstmal ist die Verwendung von i Bullshit.

Zitat:
Original von eierkopf1
Es folgt:



Links ist i fest und rechts taucht es als Laufvariable auf. Das ist Quatsch. Es ist sicherlich folgendes gemeint:




Zitat:
Original von eierkopf1
Daraus folgt:



Wieder Müll! Was ist i? Wahrscheinlich ist das für alle i gemeint. Und das sehe ich nicht. Wieso sollte das so sein? Aus xy = (x - a)(y - b) folgt doch nicht zwangsweise a = b = 0. Auch nicht, wenn x,y,a,b > 0 gilt.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Aus xy = (x - a)(y - b) folgt doch nicht zwangsweise a = b = 0. Auch nicht, wenn x,y,a,b > 0 gilt.

Aber wenn zusätzlich noch gilt, dann schon. Und das ist hier wegen



der Fall.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ok, danke. War nur schlecht aufgeschrieben, und ich hab nicht genug nachgedacht. Augenzwinkern
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

War wohl zu schnell zusammen kopiert Hammer

Danke für die Richtigstellung.
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