Integralsatz von Cauchy

18.09.2006, 23:04

pfnuesel

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Integralsatz von Cauchy

Hallo

Ich möchte ein Integral mit dem Integralsatz von Cauchy berechnen, mache aber irgendwo einen Fehler.

Zur Erinnerung, der Integralsatz von Cauchy lautet: $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial\mathbb{D}_{r}(z_{0})}\frac{f(w)}{w-z}dw \end{eqnarray*}$

Meine Aufgabe, bzw. Umformungen lautet nun:

$\begin{eqnarray*} \int_{\left|z-2\right|=1}\frac{e^{z^{2}}}{z^{2}-6z}dz = \int_{\partial\mathbb{D}_{1}(2)}\frac{e^{z^{2}}}{z(z-6)}dz = \int_{\partial\mathbb{D}_{1}(2)}\frac{f(z)}{z-6}dz=2\pi if(6) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{e^{z^{2}}}{z} \end{eqnarray*}$

Nun muss das Integral aber verschwinden, da ja keine Singularitäten innerhalb des zu integrierenden Bereichs liegen. Wo liegt also mein Rechenfehler? verwirrt

verwirrt

18.09.2006, 23:21

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Zitat:

Original von pfnuesel
$\begin{eqnarray*} \int_{\partial\mathbb{D}_{1}(2)}\frac{f(z)}{z-6}dz \stackrel{?}{=} 2\pi if(6) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{e^{z^{2}}}{z} \end{eqnarray*}$

Wieso das? Die Funktion ist im gesamten Integrationsgebiet holomorph, also ist dieses Integral Null.

18.09.2006, 23:34

pfnuesel

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von pfnuesel
$\begin{eqnarray*} \int_{\partial\mathbb{D}_{1}(2)}\frac{f(z)}{z-6}dz \stackrel{?}{=} 2\pi if(6) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{e^{z^{2}}}{z} \end{eqnarray*}$

Wieso das? Die Funktion ist im gesamten Integrationsgebiet holomorph, also ist dieses Integral Null.

Ja, richtig. Aber wenn ich das Integral mit dem Integralsatz von Cauchy berechne, müsste ich ja auch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ erhalten. Die von dir markierte Gleichheit folgt doch aus dem Satz von Cauchy (oder eben nicht; aber ich sehe noch nicht ein, wieso diese Gleichheit nicht stimmt).

18.09.2006, 23:37

Abakus

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RE: Integralsatz von Cauchy
Deine benutzte Formel heißt Cauchysche Integralformel und ist vom C. Integalsatz zu unterscheiden. In deiner Rechnung setzt du w = z, in der Integralformel steht das z jedoch nur einmal im Nenner.

Der Cauchysche Integralsatz liefert dir dagegen das Ergebnis 0.

Grüße Abakus smile

smile

18.09.2006, 23:37

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Vielleicht liegt hier dein Problem:

Zitat:

Original von pfnuesel
Zur Erinnerung, der Integralsatz von Cauchy lautet: $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial\mathbb{D}_{r}(z_{0})}\frac{f(w)}{w-z}dw \end{eqnarray*}$

Ein kleiner Schreibfehler mit großer Wirkung: Statt $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}_{r}(z_{0}) \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}_{r}(z) \end{eqnarray*}$ betrachtet werden:

$\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial\mathbb{D}_{r}(z)}\frac{f(w)}{w-z}dw \end{eqnarray*}$ .

Und das hast du hier im Beispiel nicht getan!

19.09.2006, 00:11

pfnuesel

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Zunächst einmal vielen Dank für eure Antworten.

Leider bin ich aber immer noch nicht ganz gestiegen.

Den Integralsatz bzw. -formel von Cauchy habe ich durcheinander gebracht. Ich möchte die Formel benutzen, nicht den Residuensatz!

Zitat:

In deiner Rechnung setzt du w = z, in der Integralformel steht das z jedoch nur einmal im Nenner.

Ja, aber bei mir doch auch?

Zitat:

Ein kleiner Schreibfehler mit großer Wirkung: Statt $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}_{r}(z_{0}) \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}_{r}(z) \end{eqnarray*}$ betrachtet werden

Aber das steht in meinem Script anders. Auch bei Freitag-Busam wird rund um $\begin{eqnarray*} z_{0} \end{eqnarray*}$ integriert, während $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{D}_{r}(z_{0}) \end{eqnarray*}$

Irgendwo habe ich einen Knopf in der Leitung. Ist etwa zu spät?

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19.09.2006, 00:18

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Zitat:

Original von pfnuesel
Aber das steht in meinem Script anders. Auch bei Freitag-Busam wird rund um $\begin{eqnarray*} z_{0} \end{eqnarray*}$ integriert, während $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{D}_{r}(z_{0}) \end{eqnarray*}$

Irgendwo habe ich einen Knopf in der Leitung.

Aber gewaltig!!! In deinem Freitag-Busam steht dann vermutlich sowas

$\begin{eqnarray*} f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial\mathbb{D}_{r}(z_0)} ~ \frac{f(z)}{z-z_0} ~ \dd z \end{eqnarray*}$ .

Wenn's jetzt immer noch nicht klick macht, dann gebe ich auf. Mehr als dreimal (inklusive Abakus) kann man nicht drauf hinweisen. unglücklich

unglücklich

EDIT: Ich versuch's nochmal in Worten, wenn du schon der genauen Symbolik so wenig bzw. nur äußerst schlampige Aufmerksamkeit widmest:

Beim Cauchyschen Integralsatz wird um die Polstelle des Integranden herum integriert!!!

19.09.2006, 00:40

pfnuesel

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Aber gewaltig!!! In deinem Freitag-Busam steht dann vermutlich sowas

$\begin{eqnarray*} f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial\mathbb{D}_{r}(z_0)} ~ \frac{f(z)}{z-z_0} ~ \dd z \end{eqnarray*}$ .

Nein, es steht so wie ich es oben hingeschrieben habe.

Es zwingt dich niemand mir zu helfen. Es scheint nicht nur für mich zu spät zu sein. Danke trotzdem.

19.09.2006, 00:46

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Gegen Gottvertrauen in ein Buch mit Druckfehlern kann man als Helfer im Matheboard wenig ausrichten. unglücklich

unglücklich

19.09.2006, 00:59

pfnuesel

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Gegen Gottvertrauen in ein Buch mit Druckfehlern kann man als Helfer im Matheboard wenig ausrichten. unglücklich

unglücklich

Die Formel findet sich auch so in meinem Script, bei Wikipedia und bei Remmert-Schumacher.

19.09.2006, 01:04

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Zitat:

Original von pfnuesel
Die Formel findet sich auch [...] bei Wikipedia

In welchem Artikel?

Im übrigen: Bist du dran interessiert, die Aufgabe zu lösen, oder willst du hier nur streiten? Nochmal das wesentliche:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Beim Cauchyschen Integralsatz wird um die Polstelle des
Integranden herum integriert!!!

Und genau das hast du oben nicht getan: Dein Kreis $\begin{eqnarray*} |z-2|=1 \end{eqnarray*}$ führt nicht um die Polstelle $\begin{eqnarray*} z=6 \end{eqnarray*}$ herum!

19.09.2006, 01:06

pfnuesel

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Ja, das habe ich inzwischen bemerkt, an der Formel lag es trotzdem nicht.

Link zu Wikipedia

19.09.2006, 01:09

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Na wie du willst: Dann an dem Menschen, der den Anwendungsbereich der Formel nicht beachtet.

19.09.2006, 01:11

pfnuesel

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Dass meine Anwendung der Formel falsch war stand ja gar nie zur Debatte.

19.09.2006, 01:13

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Du bist ein unverbesserlicher Streithammel. böse

böse

Gute N8.

19.09.2006, 01:16

pfnuesel

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Ach komm schon. In einer verbalen Diskussion könnte das ja klappen, aber hier kann jeder nachlesen, wer zuerst ausfallend wurde.

19.09.2006, 07:35

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Ich habe lediglich versucht, die hartnäckige Blockade hinsichtlich deiner eklatanten Fehlinterpretation der Cauchyschen Integralformel - was deren Gültigkeitsbereich betrifft - aufzubrechen. Als es mir endlich gelungen ist, folgt keine Dankbarkeit (ist nicht schlimm, passiert öfters hier) sondern sogar der Vorwurf, ich wäre "ausfallend" gewesen. Einfach nur lächerlich.

P.S.: Wirklich ausfallendes Benehmen gegenüber einem Schweizer kannst du auf der Homepage des Spiegel-Kolumnisten Henryk M. Broder nachlesen. Damit mal deine Empfindlichkeitsskala etwas zurechtgerückt wird.

19.09.2006, 11:45

pfnuesel

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Jetzt frage ich mich, wer hier der "unverbesserliche Streithammel" ist. fröhlich

fröhlich

19.09.2006, 11:53

brabe

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Zitat:

Original von pfnuesel
Hallo

Ich möchte ein Integral mit dem Integralsatz von Cauchy berechnen, mache aber irgendwo einen Fehler.

Zur Erinnerung, der Integralsatz von Cauchy lautet: $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial\mathbb{D}_{r}(z_{0})}\frac{f(w)}{w-z}dw \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von pfnuesel
Aber das steht in meinem Script anders. Auch bei Freitag-Busam wird rund um $\begin{eqnarray*} z_{0} \end{eqnarray*}$ integriert, während $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{D}_{r}(z_{0}) \end{eqnarray*}$

Irgendwo habe ich einen Knopf in der Leitung. Ist etwa zu spät?

Naja, das sagt doch alles aus, wo der Gedankenfehler ist. Ich sehe aber auch keinen persönlichen Angriff bis dahin

19.09.2006, 14:03

Abakus

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Zitat:

Original von pfnuesel

Zitat:

In deiner Rechnung setzt du w = z, in der Integralformel steht das z jedoch nur einmal im Nenner.

Ja, aber bei mir doch auch?

OK, du möchtest also z=6 bzw. f(6) gerne betrachten. 6 liegt nicht in der Kreisscheibe, um die du herumintegrierst (und das ist zwingend erforderlich, weil die Cauchysche Integralformel nur für Werte innerhalb der Kreisscheibe gilt). Schau dir dazu den Definitionsbereich von dem f in der Integralformel an: bei Wiki steht etwa $\begin{eqnarray*} f|_U (z) = ... \end{eqnarray*}$ (also f beschränkt auf U und U ist dort die Kreisscheibe).

Das andere Argument ist, dass innerhalb der Kreisscheibe schon ein Pol liegen muss, weil das Integral 0 ist, wenn der Integrand dort holomorph wäre (das sagt der Cauchysche Integralsatz).

Grüße Abakus smile

smile

19.09.2006, 14:34

pfnuesel

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Danke für deine Ausführungen Abakus. Ich habe meinen Fehler inzwischen bemerkt.

Zitat:

Das andere Argument ist, dass innerhalb der Kreisscheibe schon ein Pol liegen muss, weil das Integral 0 ist, wenn der Integrand dort holomorph wäre (das sagt der Cauchysche Integralsatz).

Also da das Integral $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist, liegt kein Pol innerhalb der Kreisscheibe, oder?

20.09.2006, 00:41

Abakus

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Zitat:

Original von pfnuesel
Also da das Integral $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist, liegt kein Pol innerhalb der Kreisscheibe, oder?

Weil kein Pol in der Kreisscheibe liegt, ist das Integral Null. Die einzigsten Pole sind ja 0 und 6 (f holomorph vorausgesetzt).

Grüße Abakus smile

smile

20.09.2006, 02:19

pfnuesel

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Ja, klar. Wollte nur auch mit der Integralformel von Cauchy zum selben Resultat kommen.

Nach dem langen Hin und Her hat es immerhin einen Vorteil für mich: Obigen Fehler werde ich mit Sicherheit nie mehr machen! smile

smile

Vielen Dank für die Hilfe! Freude

Freude

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