Satz des Pythagoras Kontraposition/Umkehrung

24.06.2009, 19:21

Bolle

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Satz des Pythagoras Kontraposition/Umkehrung

a)Kann ich folgendes für die Kontraposition des Staz des Pyhtagoras sagen:

$\begin{eqnarray*} c²\neq a²+b² \Rightarrow \end{eqnarray*}$ kein rechtwinkliges Dreick.

wäre das die Formaleschreibweise, oder wie könnte es noch aussehen?

b) Die Umkehrung des Satz des Pyhtagoras lautet (Formaleschreibweise)

$\begin{eqnarray*} a²+b²=c² \Rightarrow \gamma =90° \end{eqnarray*}$

24.06.2009, 19:44

Huggy

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RE: Satz des Pythagoras Kontraposition/Umkehrung
Alles richtig!

24.06.2009, 19:58

Bolle

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Danke Huggy für die schnelle Antwort....

Mach gerade Aufgaben von den ich keine Lösungen habe....und das Boyrd bietet eine super Möglichkeit sich zu vergewissern ;-) oder eben auch die ein oder anderen Tipps zu bekommen wenn man mal auf dem Schlauch steht!!

Also danke noch einmal!!

Gruß Bolle

30.06.2009, 16:31

Bolle

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Höhensat Kontraposition und Umkehrung
Nach dem oben Umkehrung und Kontraposition vom Satz des Pythagoras dran waren wäre es super wenn jemand die folgenden Aussagen noch bestätigen könnte: Umkehrung Höhensatz und Kontraposition...

Kontraposition:
$\begin{eqnarray*} h²\neq p*q \Rightarrow kein rechtwinkliges Dreieck \end{eqnarray*}$

Umkehrung:

Wenn h²=p*q ist, so besitz das Dreick einen rechten Winkel mit der Hypotenuse c.

Wäre das von der Ausdrucksweise ok, oder wie könnte man das eleganter Ausdrücken (alles als Formelschreibweise?)

30.06.2009, 19:45

knups

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RE: Satz des Pythagoras Kontraposition/Umkehrung
Der arme Pythagoras hat die Verunglimpfung seines Namens nicht verdient!!

30.06.2009, 20:01

Airblader

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Und zum Thema Schreibweise: Solange nicht klar ist, was das für Bezeichner sind, steht da irgendeine Formel ohne jeglichen Zusammenhang.

Nette Anekdote aus der Mittelstufe:
Schüler soll den S.d.P. anschreiben und schreibt an die Tafel "a² + b² = c²". Unser Lehrer: "Was ist das?"
Schüler: "Der Satz des Pythagoras?"
Lehrer: "Nein, das ist eine Portion Kreide an der Tafel"

Big Laugh

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air

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30.06.2009, 20:37

Leopold

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Den Hinweis von Airblader kann ich nur unterschreiben!
Darüberhinaus habe ich aber noch ein weiteres Bedenken:

$\begin{eqnarray*} a=18; \ b=20{,}4; \ c=9{,}6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 \neq c^2 \end{eqnarray*}$ - dennoch ist das Dreieck rechtwinklig!

Man muß da schon genauer formulieren.

30.06.2009, 20:40

Airblader

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Ja, darauf wollte ich u.a. auch hinaus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

30.06.2009, 21:52

Bolle

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sorry sollte natuürlich so heissen Pythagoras!!!

Könntet ihr mir vielleicht sagen wie es dann richtig heisst - also dann ist das mit dem Pythagoras auch schon nicht korrekt?!

also wenn ihr das meint dass ich nicht hingeschrieben habe, dass mit a² und b² die Katheten und mit c die Hypotenuse gemeint ist...ok...

30.06.2009, 22:49

Bolle

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und dass der Winkel dann in C keine 90° sind...ist es jetzt besser so als rechtwinkliges Dreieck

01.07.2009, 08:00

Huggy

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@Bolle

Meiner Meinung nach wird die überwiegende Mehrzahl der Leser deinen Text so interpretieren,

a) dass es um ein Dreieck geht, dessen Teile in der weitverbreitet üblichen Form benannt sind, womit die Bedeutung von a, b, etc. ausreichend geklärt ist.

b)dass, wenn du von einem rechtwinkligen Dreieck sprichst, du immer ein Dreieck meinst mit dem rechten Winkel bei C.

Daher erscheint mit die Kritik an deiner Formulierung etwwas kleinlich. Es kann natürlich nie schaden, die Dinge noch klarer zu formulieren.

Jedenfalls sind deine Aussagen, a) und b) vorausgesetzt, korrekt.

01.07.2009, 08:23

Leopold

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Was die Standardbezeichnungen im Dreieck ( $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ als Seiten(längen), $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta,\gamma \end{eqnarray*}$ als die den Seiten gegenüberliegenden Winkel) angeht, stimme ich dir zu. Was den Rest angeht, aber nicht.

$\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 \neq c^2 \ \ \Rightarrow \ \ \text{Dreieck nicht rechtwinklig} \end{eqnarray*}$

ist schlicht falsch. Die Rechtwinkligkeit des Dreiecks ist ja hier gerade nicht vorausgesetzt, sondern soll durch die Voraussetzung überprüft werden. Dabei ist es so einfach, das richtig zu stellen:

$\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 \neq c^2 \ \ \Rightarrow \ \ \gamma \neq 90^{\circ} \end{eqnarray*}$

Oder so:

$\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 \neq c^2 \ \ \text{und} \ \ b^2 + c^2 \neq a^2 \ \ \text{und} \ \ c^2 + a^2 \neq b^2 \ \ \Rightarrow \ \ \text{Dreieck nicht rechtwinklig} \end{eqnarray*}$

Vermutlich sind die Aufgaben, die Bolle hier bearbeitet, aus einer Unterrichtseinheit "Aussagen, Logik, Beweise". Und gerade deshalb ist es wichtig, besonders "kleinlich" zu sein. Genauigkeit soll hier gerade geübt werden. Ansonsten stimme ich dir zu: Man sollte nicht an Kleinigkeiten herummäkeln, wenn aus dem Zusammenhang die Begriffe und Bedeutungen hervorgehen.

01.07.2009, 08:34

Huggy

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Zitat:

Original von Leopold
Vermutlich sind die Aufgaben, die Bolle hier bearbeitet, aus einer Unterrichtseinheit "Aussagen, Logik, Beweise". Und gerade deshalb ist es wichtig, besonders "kleinlich" zu sein. Genauigkeit soll hier gerade geübt werden. .

Unter diesem Gesichtspunkt kann ich dir nicht widersprechen.

01.07.2009, 10:08

Bolle

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Ok danke für die Hinweise...ich werde mich in Zukunft genauer ausdrücken!!!

Aber so wie es Huggy geschrieben habe, habe ich es auch gemeint...Nichts für ungut wieder estwas dazu gelernt...aber wie sieht es jetzt mir dem Höhensatz und dessen Umkehrung und Kontrasposition aus?

01.07.2009, 10:11

Bolle

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Kontraposition:
Wenn

$\begin{eqnarray*} h²\neq p*q \Rightarrow \gamma \neq 90° \end{eqnarray*}$

Umkehrung:

Wenn

$\begin{eqnarray*} h²=p*q \Rightarrow \gamma =90° \end{eqnarray*}$

01.07.2009, 11:54

Leopold

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Wie sind $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ definiert, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ stumpf sind?
Erst, wenn das geklärt ist, sollte man mit den Bezeichnungen arbeiten.

01.07.2009, 12:18

Bolle

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mmm ok, wenn Winkel Beta stumpf ist liegt die Höhe ausserhalb des Dreieckes...aber wie genau soll ich das definieren? Selbiges gilt für Winkel Alpha..

06.07.2009, 10:04

Bolle

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@leopold..

kannst du mir bitte noch einmal erklären wie ich p und q bei einem stumpfwinkligen Dreieck dann definieren muss?

06.07.2009, 16:33

Leopold

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Das Problem ist das Folgende: Du verwendest vier Bezeichner $\begin{eqnarray*} p,q,h,\gamma \end{eqnarray*}$ für ein zunächst beliebiges Dreieck und willst aus der Bedingung $\begin{eqnarray*} pq = h^2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \gamma = 90^{\circ} \end{eqnarray*}$ schließen. Wenn du den Satz für ein beliebiges Dreieck aussprichst, mußt du die Bezeichnungen auch für ein beliebiges Dreieck erklären. Mit $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ist das kein Problem: $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ist der Winkel bei $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die Höhe (positiv gemessen) auf die Seite $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ . Aber $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ? Ist nun $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ einfach die Länge der Strecke vom Höhenfußpunkt nach $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ die Länge der Strecke vom Höhenfußpunkt nach $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ? Dann gilt nämlich nicht immer $\begin{eqnarray*} p+q = c \end{eqnarray*}$ . Wenn du dagegen $\begin{eqnarray*} p+q = c \end{eqnarray*}$ unter allen Umständen erhalten willst, mußt du $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ in gewissen Situationen negativ messen.
Du kannst es dir aber auch etwas einfacher machen und $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ nur für Dreiecke, in denen weder $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ stumpf ist, in gewohnter Weise definieren. Dann mußt du diese Einschränkung allerdings auch in den Satz aufnehmen:

Gilt in einem Dreieck mit nichtstumpfen Winkeln $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ die Beziehung $\begin{eqnarray*} pq = h^2 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \gamma = 90^{\circ} \end{eqnarray*}$ .

06.07.2009, 19:43

Bolle

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Ich versteh was du meinst!!! Ich muss mich deutlicher Ausdrücken!!!!

Vielen Dank für die super Ausführung!!!

Gruß Bolle

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