Kongruenzen/Restklassen

24.06.2009, 21:48

WahrerWurm09

Kongruenzen/Restklassen

Bitte helft mir beim Lösen und Erklären von folgendem Beispiel. Das wäre sehr sehr nett, danke schon mal.

Wie heißen die letzten beiden Ziffern der Zahl 3^1234.

24.06.2009, 21:57

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Mit dem Satz von Euler-Fermat kann man den Exponenten 1234 schnell und wirksam herunterschrauben.

24.06.2009, 22:00

WahrerWurm09

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Mit dem Satz von Euler-Fermat kann man den Exponenten 1234 schnell und wirksam herunterschrauben.

Kann schon sein, ich bitte um eine komplette Lösung (Lösungsweg) und wenn möglich einer kurzen Erklärung des Beispiels.

24.06.2009, 22:02

guest09

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RE: Kongruenzen/Restklassen
hi Wink

grundsätzlich versucht man eine periode zu finden

den modul den man hier bracuht ist 100 (letzte beide ziffern)

so fängst du an:
$\begin{eqnarray*} 3^{1}=003 \equiv 03 mod 100 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^{2}=009 \equiv 09 mod 100 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^{3}=027 \equiv 27 mod 100 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^{4}=081 \equiv 81 mod 100 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^{5}=243 \equiv 43 mod 100 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^{6}=729 \equiv 29 mod 100 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3^{7} \equiv 29*3\equiv87 mod 100 \end{eqnarray*}$

so weiterrechnen (TR, zB: Ans*3 und nur die letzten beiden Ziffern beachten)

bis man irgendwann (Periode!) wieder bei
$\begin{eqnarray*} 3^{n} \equiv 01 mod 100 \end{eqnarray*}$

ankommt

Weißt du wie man dann weitermacht?

wenn etwas unklar ist, frag einfach nochmal

grüße

24.06.2009, 22:05

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Zitat:

Original von WahrerWurm09
Kann schon sein, ich bitte um eine komplette Lösung (Lösungsweg) und wenn möglich einer kurzen Erklärung des Beispiels.

An sich ein unverschämtes Ansinnen - aber wenn du dir den Link überhaupt angeschaut hättest, dann müsstest du auch das dort gerechnete Beispiel gesehen haben. Augenzwinkern

24.06.2009, 22:13

WahrerWurm09

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RE: Kongruenzen/Restklassen

Zitat:

Original von guest09
hi Wink

Bitte fertigrechnen, das wäre sehr lieb.

24.06.2009, 22:16

guest09

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RE: Kongruenzen/Restklassen

Zitat:

Original von WahrerWurm09Bitte fertigrechnen, das wäre sehr lieb.

hast du denn schon einmal ähnliche aufgaben gerechnet?

grüße

24.06.2009, 22:21

WahrerWurm09

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RE: Kongruenzen/Restklassen

Zitat:

Original von guest09

Zitat:

Original von WahrerWurm09Bitte fertigrechnen, das wäre sehr lieb.

hast du denn schon einmal ähnliche aufgaben gerechnet?

grüße

Ne, so eines nicht.

24.06.2009, 22:29

guest09

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RE: Kongruenzen/Restklassen

Zitat:

Original von WahrerWurm09

Ne, so eines nicht.

dann werd ich dir anhand eines ähnlichen beispiels zeigen wie das funktioniert:

Beispiel: Was ist die letzte Ziffer von $\begin{eqnarray*} 2^{2009} \end{eqnarray*}$ ?

benötigter modul: 10

Anfang:
$\begin{eqnarray*} 2^1 \equiv 2 mod 10<br /> 2^2 \equiv 4 mod 10 <br /> 2^3 \equiv 8 mod 10 <br /> 2^4 \equiv 6 mod 10 <br /> 2^5 \equiv 2 mod 10 \end{eqnarray*}$

man hat also eine 4er-periode [2,8,6,2], d.h.

$\begin{eqnarray*} x^{4k+a} \equiv x^{a} \end{eqnarray*}$

2009=502*4+1

$\begin{eqnarray*} 2^{4*502+1} \equiv 2^{1} \equiv 2 mod 10 \end{eqnarray*}$

das kannst du auf das andre problem übertragen (periode is länger!)

grüße

24.06.2009, 22:30

guest09

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die periode ist natürlich: 2,4,8,6

25.06.2009, 19:43

Gast100

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RE: Kongruenzen/Restklassen

Zitat:

Original von guest09

Zitat:

Original von WahrerWurm09

Ne, so eines nicht.

Das ist so nicht ganz richtig.

26.06.2009, 10:14

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@Gast100

Sehr hilfreicher Beitrag ... Statt einen längeren Beitrag schlicht als "so nicht ganz richtig" zu beurteilen, solltest du besser konkret die Stellen benennen und begründen, die du für falsch hältst. Ansonsten verwirrst du nur Fragesteller wie WahrerWurm09.

Ich kann übrigens bis auf den von guest09 korrigierten Schreibfehler keinen Fehler in der Beispielrechnung entdecken - also mal raus mit der Sprache. Augenzwinkern

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