Beweis zu normalen Endomorphismen

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maggis Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zu normalen Endomorphismen
Hallo zusammen,

folgendes soll ich beweisen:

f ist ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen unitären Vektorraum. Dabei gilt:
  • ist normal
  • (die Adjungierte ist hier gemeint)


Zu zeigen: ist eine Orthogonalprojektion.

Folgendermaßen hab ichs probiert:

soll 0 werden, denn die sind ja orthogonal, falls eine Orthogonalprojektion ist. Komm dabei aber mit den gegebenen Voraussetzungen irgendwie nicht weiter. Gibts da nen Trick oder ist das ne Sackgasse? Habt ihr vielleicht noch andere Vorschläge oder Anregungen?

Danke für eure Hilfe

Maggis
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zu normalen Endomorphismen
Zitat:
Original von maggis
(die Adjungierte ist hier gemeint)


Mich dünkt, du hast falsch abgeschrieben.
maggis Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer Oje Maggis, konzentrier dich doch mal! Hammer

Gemeint ist:


Danke für den Hinweis!

Maggis
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das hatte ich mir gedacht. So ist aber die Forderung, dass Phi normal ist, unnötig, denn das folgt aus der zweiten Bedingung. Kannste ja in deiner Bearbeitung der Aufgabe noch dazuschreiben.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Setze



Dann gelten A und B sind selbstadjungiert und kommutieren, d.h. AB = BA. Setze das in deine gegebene Gleichung ein. Ordne dann nach Real- und Imaginärteil und mache einen Koeffizientenvergleich (warum darfst du das?). Du solltest dann B³ = 0 rausbekommen. Folgere daraus wiederum, dass B = 0 gilt (benutze die Selbstadjungiertheit von B). Weiter folgert man dann leicht, dass A² = A gilt. Aus alldem folgt, dass selbstadjungiert ist mit also eine Orthogonalprojektion.
maggis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Du solltest dann B³ = 0 rausbekommen.

B^2, oder?
Wenn ja, hab ichs jetz hinbekommen.

Vielen vielen vielen Dank für die schnelle Antwort! Hat echt sehr geholfen!

Maggis
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte schon B³, aber das ist auch wurscht. Kommt ja aufs Gleiche raus. Bitte stelle deine Lösung noch hier hinein. Danke.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Bitte stelle deine Lösung noch hier hinein. Danke.


Es hat sich hier jemand Gedanken über DEINE Aufgabe gemacht. Zumindest dafür solltest du der obigen Bitte nachkommen. Aber auch für andere, die später vielleicht einmal dasselbe Problem haben.
maggis Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
Sorry hab nich mehr dran gedacht. Nächstes mal gehts schneller, versprochen.
Also, hier der Beweis:
_____________________________________________

Setze und .
Dann ist und . A und B sind offensichtlich selbstadjungiert und es gilt .

Einsetzen in


ergibt:


, da AB=BA.

Koeffizientenvergleich nach Real- und Imaginäteil ergibt:
und
und

Also folgt:
, weil , da (also ist nicht schiefhermitesch) und A nicht nipotent, da A selbstadjungiert
und
weil B nicht nilpotent, da B selbstadjungiert.
, also ist selbstadjungiert.
Desweiteren gilt:

Also ist eine Orthogonalprojektion.

_____________________________________________

Das wars. Ich hoffe es is soweit vollständig.

Gruss,
Maggis
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von maggis
Also, hier der Beweis:


Das ist kein Beweis, da ein dicker Fehler drin ist. Ich werde im folgenden darauf eingehen. Erstmal noch was anderes:


Zitat:
Original von maggis
Koeffizientenvergleich nach Real- und Imaginäteil ergibt:
und


Wieso ist hier ein Koeffizientenvergleich möglich?


Jetzt zum Fehler:

Zitat:
Original von maggis
und

Also folgt:
, weil


Das ist Riesenmurks. Du kannst mit Matrizen nicht wie mit Zahlen umgehen. Es kann durchaus passieren, dass A²(A² - A) verschwindet, obwohl A² - A nicht verschwindet. (Aber eben nur bei nicht-selbstadjungierten Matrizen (s.u.).)


EDIT: Ich muss mich korrigieren. Die Folgerung ist richtig - die Begründung aber falsch. Es ist tatsächlich A² - A = 0. Das kann man wie folgt begründen: Es gilt also A²(A² - A) = 0. Daraus folgt A³(A - I) = 0. Definiere das Polynom P(x) := x³(x-1). Es ist P(A) = 0. Also ist das Minimalpolynom von A ein Teiler von P, und da die Linearfaktoren des Minimalpolynoms einer selbstadjungierten Matrix stets einfach auftauchen (warum???), ist entweder x oder x - 1 oder x(x-1) das Minimalpolynom von A. Im ersten Fall ist A = 0. Daraus folgt dann B² = 0. Also hat B das Minimalpolynom p(x) = x, und es folgt B = 0 und somit auch Das ist natürlich eine Orthogonalprojektion. Im zweiten Fall ist A = I und auch B² = 0 (==> B = 0), also eine Orthogonalprojektion. Im dritten Fall ist A² - A = A(A - I) = 0. Ab da kannst du deinen Beweis so fortführen wie du es oben getan hast.
maggis Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Danke für den Hinweis. Leuchtet ein. Das Blatt ist zwar schon abgegeben, aber erstens hab ich was dazugelernt, und zweitens wirds auch so n paar Punkte geben.

Zitat:
Original von WebFritzi

Zitat:
Original von maggis
Koeffizientenvergleich nach Real- und Imaginäteil ergibt:
und


Wieso ist hier ein Koeffizientenvergleich möglich?



Wenn ich mich nicht täusche, ist es ja so, dass man in unitären Vektorräumen den Real- und Imaginärteil eines Vektors nicht addieren kann, da man eben i nicht zu reellen Zahlen addieren kann, genauso wie bei den komplexen Zahlen. Wenn also dasteht "=0" muss sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil des Vektors / der Zahl Null sein, also kann ich einen Koeffizientenvergleich machen. Wenn das nicht als Erklärung reicht, erklärs mir bitte richtig.

Gruss
Maggis
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von maggis
Wenn ich mich nicht täusche, ist es ja so, dass man in unitären Vektorräumen den Real- und Imaginärteil eines Vektors nicht addieren kann, da man eben i nicht zu reellen Zahlen addieren kann, genauso wie bei den komplexen Zahlen.


Wiebitte, was? Natürlich kann man i zu reellen Zahlen addieren. Schau mal: 2 + i. Was sagste jetzt? Augenzwinkern Du meintest sicher etwas anderes, konntest es aber nicht formulieren. Und übrigens gibt es nicht den Real- oder Imaginärteil eines Vektors. Wir sind hier nicht im sondern in einem x-beliebigen unitären Vektorraum.


OK, die Erklärung: Sei also X + iY = 0 mit zwei selbstadjungierten linearen Abbildungen X und Y (das ist hier der Fall, da (AB)* = (BA)* = A*B* = AB). Für jeden Vektor u gilt dann

(Xu,u) + i(Yu,u) = 0.

Dabei sei (.,.) das Skalarprodukt. Da (Xu,u) und (Yu,u) reell sind, folgt (Xu,u) = (Yu,u) = 0 für alle u. Man könnte nun die Polarisationsformel verwenden, um Xu = 0 zu zeigen für alle u. Aber ich habe keinen Link dafür. Also machen wir es anders. Offenbar ist [.,.] := (X.,.) eine positiv semidefinite Sesquilinearform. Die Cauchy-Schwartzsche Ungleichung gilt auch für solche - wie man leicht beweist. Also folgt für alle u:



und somit Xu = 0 für alle u ==> X = 0. Genauso zeigt man Y = 0.
maggis Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut, habs verstanden. Im 2. Semester muss man ja noch nich alles wissen. Muss man wohl nie.
Danke
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