Anwendung von Verteilungsfunktionen

28.06.2009, 11:18

tim90

Anwendung von Verteilungsfunktionen

Folgende Aufgabe ist gegeben: Es werden 50 Rosinenmuffins gebacken. In den Teig werden 50 Rosinen gegeben, danach wird dieser sorgfältig durchmischt und der Teig wird in einzelne Muffinformen gegeben.
a) Wieviele Rosinen muss man mindestens in den Teig geben, damit in jedem Muffin mindestens eine Rosine zu finden ist?
Mein Problem ist, dass ich nicht darauf komme wie groß die Wahrscheinlichkeit ist eine Rosine in einem Muffin zu haben..Wüsste ich diese Wahrscheinlichkeit hätte ich mir für n=50 in einer Binomialverteilungstabelle den k Wert herausgesucht für den sich die Wahrscheinlichkeit 1 ergibt. Oder sollte man hier besser eine andere Verteilungsfunktion anwenden?

b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen Muffin auszuwählen, der genau 2 Rosinen enthält?
Ich habe wieder das Problem, dass ich die Wahrscheinlichkeit für 1 Rosine nicht aus der Aufgabe herauslesen kann. Wüsste ich diese könnte ich entweder Binomialverteilung oder Poissonverteilung anwenden, wenn mich nicht alles täuscht?!

Bisher kenne ich die Binomialverteilung, die Normalverteilung für diskrete und stetige Zufallsgrößen und die Poisson Verteilung.

Wäre klasse wenn mir jemand zu meinen Problemen Hilfestellung leisten kann.

Danke, Tim

28.06.2009, 11:31

tim90

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Im Aufgabenteil b) bin ich auf einen Lösungsansatz gestoßen. Wäre klasse, wenn ihr mal rüber gucken könntet. Ich habe als erstes die Zufallsgröße X als Anzahl der Rosinen in einem Muffin definiert. Dann habe ich mir überlegt, dass der Erwartungswert lambda=1 sein müsste, denn wir verteilen N Rosinen auf n Muffins. Den Erwartungswert und den Wert 2 für k in die Poissonverteilung eingesetzt ergibt 18,39 % dafür, dass ein Muffin 2 Rosinen enthält.

Bitte sagt mir doch ein paar Worte zu meinen Überlegungen.

Mange Tak, Tim

28.06.2009, 11:36

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Zitat:

Original von tim90
In den Teig werden 50 Rosinen gegeben

[...]

a) Wieviele Rosinen muss man mindestens in den Teig geben, damit in jedem Muffin mindestens eine Rosine zu finden ist?

In dieser Kombination macht das keinen Sinn:

Wenn die Anzahl 50 bereits vorher feststeht, was soll dann die Frage nach der nötigen Anzahl?

Ich nehme daher an, diese Voraussetzung "50 Rosinen" kann ersatzlos gestrichen werden - zumindest für Teilaufgabe a).

28.06.2009, 11:44

tim90

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Genau, diese Angabe ist nur in Teilaufgabe b wichtig. Trotzdem habe ich keine Idee, wie ich hier lösen kann..

28.06.2009, 11:55

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Na Ok, gehen wir mal von

Zitat:

Original von tim90
Ich habe als erstes die Zufallsgröße X als Anzahl der Rosinen in einem Muffin definiert. [...]wir verteilen N Rosinen auf n Muffins

aus. Dann ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ binomialverteilt, und zwar $\begin{eqnarray*} X\sim B\left(N, \frac{1}{n} \right) \end{eqnarray*}$ . Damit kannst du b) ausrechnen.

Bei a) gilt das auch, also für alle Rosinen $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_n\sim B\left(N, \frac{1}{n} \right) \end{eqnarray*}$ . Allerdings nützt das nur begrenzt was, da diese Anzahlen einander nicht unabhängig sind, sie sind ja über die Summe

$\begin{eqnarray*} X_1 + \cdots + X_n = N \end{eqnarray*}$

miteinander verkoppelt. Bei a) hilft nur die Siebformel, wenn man wirklich exakt rechnen will.

P.S.: Mir fällt grad noch auf, dass so

Zitat:

Original von tim90
a) Wieviele Rosinen muss man mindestens in den Teig geben, damit in jedem Muffin mindestens eine Rosine zu finden ist?

die Aufgabe gar keinen Sinn ergibt: Die Antwort lautet nämlich "unendlich". Vermutlich meinst du eher

Zitat:

a) Wieviele Rosinen muss man mindestens in den Teig geben, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens ... % in jedem Muffin mindestens eine Rosine zu finden ist?

... % ist natürlich noch zu spezifizieren. Augenzwinkern

28.06.2009, 13:20

tim90

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Genau das ist bei Aufgabe a mein Problem, ich kenne Aufgaben vom Typ: "a) Wieviele Rosinen muss man mindestens in den Teig geben, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens ... % in jedem Muffin mindestens eine Rosine zu finden ist?" Leider ist in meiner Aufgabe tatsächlich keine Wahrscheinlichkeit angegeben.. Logischerweise müsste der Teig unendlich viele Rosinen enthalten. Wir stehen also vor dem selben Ausgangsproblem. Ich belasse es bei dieser Überlegung und hoffe, dass ich die Aufgabe richtig mitgeschrieben habe. Danke für deine Antwort!

So, nochmal zu Aufgabenteil b. Ich habe mit der Poisson Verteilung versucht zu lösen, mein vorgehen habe ich oben geschildert. Eigentlich ist die Poissonverteilung ja nur eine Umformug der Binomialverteilungsfunktion, könnte ich die Poissonverteilung also hier anwenden? Wenn ja, habe ich bei meiner Anwendung einen Fehler gemacht?

Über die Binomialverteilung müsste die Aufgabe, wenn ichs richtig verstanden habe so zu lösen sein:

X: Anzahl der Rosinen in einem Muffin.
X ist B(50;1/50) - verteilt.
P(x=2)=18,58%

Dies weicht ja um ein paar Tausendstel von der Poissonverteilung ab. Nun meine Frage: Ist die Poissonverteilung nur eine Näherung, und wenn ja, dann frage ich mich unter welchen Bedingungen darf mit der Poissonverteilung genähert werden.
(Leider habe ich die Poissonverteilung erst seit 45 Minuten..Wäre ansonsten wahrscheinlich klar.)

Danke für bisherige und kommende Antworten, hilft mir immer sehr weiter! Freude

Tim

28.06.2009, 13:27

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Zitat:

Original von tim90
Ist die Poissonverteilung nur eine Näherung

So ist es.

Solchen Näherungen sollte man gegenüber der exakten Rechnung nur mit sehr guten Gründen den Vorzug geben. Diese Gründe können z.B. numerischer Natur sein (Vermeidung von "Auslöschung"), etwa sehr große $\begin{eqnarray*} n,N \end{eqnarray*}$ . Die Näherung

$\begin{eqnarray*} X\sim B(N,p) \approx \operatorname{Poisson}(\lambda) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda=Np \end{eqnarray*}$

ist nur für große $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ und kleine $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , angedeutet durch $\begin{eqnarray*} p \ll 1 \end{eqnarray*}$ angemessen, und dann auch nur zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(X=k) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\ll N \end{eqnarray*}$ geeignet.

Genauere quantitative Aussagen zur Güte der Approximation sind schwierig, deswegen wirst du sowas kaum irgendwo finden.

28.06.2009, 20:14

tim90

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Guten Abend,

ich habe mir die Aufgabenstellung noch einmal leicht verändert. Anstatt von 50 Rosinen betrachte ich die Aufgabe nun für 100 Rosinen. Alle sonstigen Angaben bleiben identisch zur ursprünglichen Aufgabe.

Zu Aufgabenteil b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen Muffin auszuwählen der genau 2 Rosinen enthält?

Meine Überlegung für 50 Rosinen: Der Erwartungswert müsste 2 Rosinen pro Muffin sein. Da der Erwartungswert das Produkt n*p ist, ergibt sich für p=1/50. Nun verfahre ich mit der Binomialverteilung oder der Poissonverteilung und komme auf 27,34% als Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Muffin 2 Rosinen enthält.

Ist meine Überlegung so richtig, wäre super wenn mir noch kurz jemand was dazu sagt!

Dankeschön, Tim

28.06.2009, 20:43

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Der Wert ist richtig, aber deine Erklärung zu den Verteilungsparametern reichlich verworren: Wie ich oben schon sagte, hängt Parameter $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ nur von der Anzahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ der Brötchen, aber nicht der Anzahl $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ der Rosinen ab: Es ist einfach $\begin{eqnarray*} p= \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , hier mit n=50 bei Rosinenanzahl N=100.

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