Verschoben! Volumenintegral Kreisring

28.06.2009, 21:04

Hängemathe

Volumenintegral Kreisring

Für das Massenträgheitsmomentes eines kreisrunden (hohlen) Körpers mit sich verengendem Querschnitt brauche ich unter anderem das Volumen als Integral. Ein infinitissimal kleines Massenstück dm ist dann gleich Dichte mal dV (V=Volumen) (siehe Bild).

Der Flächeninhalt eines Kreisringes ist für mich allgemein:

$\begin{eqnarray*} A=\pi ({R_a}^2 - {R_i}^2) \end{eqnarray*}$

dy ist einfach die Höhenkomponente und macht aus der Fläche das Volumen, dieser Teil interessiert mich nicht weiter. Mir geht es nur um die integrale Berechnung der Kreisringfläche (siehe Bild).

Nun ist für mich:

$\begin{eqnarray*} R_a=r+dr \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R_i=r \end{eqnarray*}$

Damit wäre für mich A:

$\begin{eqnarray*} \pi[(r+dr)^2-(r)^2]=\pi[r^2+2rdr+dr^2-r^2]=\pi[2rdr+dr^2] \end{eqnarray*}$

Guckt man aber in die Herleitung der Lösung so sei der Flächeninhalt nur $\begin{eqnarray*} \pi r dr \end{eqnarray*}$ , die Dichte und dy mal außen vorgelassen .... das verstehe ich nicht.

Edit (mY+): Links zu externen Uploadseiten werden entfernt. Du kannst ein Bild hier direkt an deinen Beitrag anhängen.

[attach]10844[/attach]

29.06.2009, 11:51

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Hängemathe
Guckt man aber in die Herleitung der Lösung so sei der Flächeninhalt nur $\begin{eqnarray*} \pi r dr \end{eqnarray*}$ ,

Wenn ich mir den Link durchlese, da steht dort durchaus $\begin{eqnarray*} 2\pi r ~ \dd r \end{eqnarray*}$ , also alles Ok.

29.06.2009, 15:54

Hängemathe

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wo bleibt das $\begin{eqnarray*} dr^2 \end{eqnarray*}$ ?

29.06.2009, 16:08

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn du denn Unterschied zwischen Differenzen- und Differenzialquotient kennst, solltest du diese Frage nicht stellen - ja, solche vereinfachten Rechnungen mit $\begin{eqnarray*} r+\dd r \end{eqnarray*}$ wegen fehlender Qualifikation am besten gar nicht durchführen. Augenzwinkern

29.06.2009, 19:34

Hängemathe

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja,

danke für die Hilfe! Da bin ich aber froh dass ich trotz mangelnder mathematischer Qualifikation doch wenigstens genug soziale Qualifikation / Kompetenz habe , anderen Leuten Dinge zu erklären von denen ich viel verstehe (Mathematik gehört nicht unbedingt dazu bei mir, aber es muss ja nicht jeder ein Mathematik-Genie sein wie du es bist) anstatt Ihnen einen blöden Spruch an den Kopf zu werfen.

Ich weiß schon das man hier keinerlei Anspruch auf Hilfe hat und das ist auch verständlich. Ich wusste allerdings nicht das ich mich mit meiner dämlichen Frage für vernünftige Antworten disqualifiziert habe.

Trotzdem noch mal danke dass du dir die Zeit für diesen Satz genommen hast du dich mit einer Mathematik-Versagerin wie ich es bin überhaupt im Ansatz auseinandergesetzt hast.

29.06.2009, 19:38

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wieder einer dieser Beleidigten, die jede noch so kleine, überhaupt nicht böse gemeinte Anmerkung in den falschen Hals kriegen, und Vorträge über ihre vermeintliche soziale Kompetenz halten. Na wie du willst, dann behellige ich dich eben nicht mehr, bis auf das:

Wenn du mit $\begin{eqnarray*} \dd r \end{eqnarray*}$ so umoperierst wie oben, dann solltest du wissen, was du tust - dass dann nämlich $\begin{eqnarray*} (\dd r)^2 \end{eqnarray*}$ gegenüber $\begin{eqnarray*} \dd r \end{eqnarray*}$ vernachlässigbar klein ist.

29.06.2009, 20:17

Hängemathe

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn mir jemand sagt ich solle eine Aufgabe doch gleich lassen weil ich mangels Qualifikation nicht dafür geeignet bin ist das wohl in keiner Form hilfreich für die Lösung des Problems, oder? Wenn jemand kommt und Hilfe von mir haben möchte dann gebe ich sie ihm oder auch nicht. Ich sage ihm aber nicht er soll es doch einfach sein lassen weil er nicht qualifiziert dafür ist.

Vorträge haben bei mir übrigens andere Dimensionen.

Eine einfache Antwort oder keine Antwort hätte es wohl eher getan, oder ? Behelligt hast du mich mit deinem vorletzten Beitrag irgendwie nicht, daher wundere ich mich über die Formulierung "nicht mehr".....

Ich persönlich hatte vermutet das das Quadrat eines ohnehin schon infinitissimal kleinen Stückes noch kleiner wird und daher vernachlässigt wird, ein Komilitone hat mich aber davon abgebracht.

29.06.2009, 20:42

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte ja eigentlich nichts mehr mit dir zu tun haben - aber auf deine verdrehende, verbiegende Deutung meiner Worte muss ich schon noch mal eingehen:

Zitat:

Original von Hängemathe
Wenn mir jemand sagt ich solle eine Aufgabe doch gleich lassen weil ich mangels Qualifikation nicht dafür geeignet bin

Das habe ich nie gesagt. Wenn du bitte nochmal genau nachliest, dann habe ich nicht gesagt, dass du die Aufgabe sein lassen sollst - sondern nur den Weg, den du beschritten hast. Über

$\begin{eqnarray*} \dd A(r) = \frac{\dd A(r)}{\dd r} \cdot \dd r = A'(r) ~ \dd r \end{eqnarray*}$

wären solche ominösen $\begin{eqnarray*} (\dd r)^2 \end{eqnarray*}$ gar nicht aufgetaucht.

30.06.2009, 01:43

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte verwende keine Links zu externen Uploadseiten. Diese werden entfernt. Du kannst ein Bild hier direkt an deinen Beitrag anhängen.

Ausserdem ist dieses Thema aus dem Hochschulbereich (und auch keine Geometrie) und wird daher

*** verschoben ***

Und: "infinitissimal" heisst das nicht, sondern infinitesimal (!)

mY+

30.06.2009, 03:35

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Um hier mal etwas zu beschwichtigen:

@Arthur: Ich denke, man konnte deinen Beitrag schon missverstehen. Ich habe ihn auch erst nach mehrmaligem Lesen verstanden.

@Hängemathe: Ich verstehe, dass du dich angegriffen gefühlt hast. Das passiert manchmal, wenn man nicht ordentlich liest. Mir auch. Augenzwinkern

Ich glaube, das beste ist in solch einer Situation, sich den Beitrag mehrmals genau durchzulesen und zu hinterfragen, ob er wirklich so bös gemeint war, wie man ihn aufgenommen hat. Zuerstmal hat Arthur einen Smiley hinten angefügt. Das meint, dass der Leser diese Bemerkung nicht allzu ernst nehmen sollte. Was er zum Ausdruck bringen wollte, ist, dass du hier deine Lücken offenbart hast, indem du leichtfertig mit Symbolen rumschmeißt, mit denen du noch gar nicht so richtig umgehen kannst. Er meint, dass man lieber Dinge niederschreiben sollte, bei denen man sich sicher ist, dass sie stimmen, anstatt wild rumzuraten nach dem Motto "Passt schon irgendwie". Also halte dich daran und lies lieber einmal mehr, bevor du eingeschnappt bist. Augenzwinkern

30.06.2009, 11:33

Hängemathe

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun denn,

ich habe mir seine/deine Worte mehrfach durchgelesen und bin zumindest nicht die einzige, die es falsch verstanden hat. smile

Es war auch ein langer Uni-Tag gestern, da war ich vielleicht zu schnell gereizt.

Zum Bild-Link: Ich hatte das früher auch so gemacht über den Link "Bild einfügen", dann wurden die Bilder aber auch direkt im Beitrag angezeigt. Habt ihr das geändert?

Nehme ich jetzt in Zukunft den Link "Dateianhang", und dann wird es so angehängt wie es jetzt ist?

Zur Herangehensweise:

Ich dachte mir einfach ich betrachte die Formel für den Flächeninhalt eines Kreisringes und setze dann für Innen- und Außenradius die bekannten Größen ein. Ist diese Betrachtung der Dinge denn total falsch?

Ebenso ist mir der Verweis auf den Unterschied zwischen Differenzen- und Differentialquotient noch nicht klar bezüglich des r+dr ?

Ich bin bisher auch davon ausgegangen das der Körper hohl ist, dem ist aber nicht so. Ein Mitarbeiter des Professors hat mir folgendes geschrieben:

Die Berechnung des Kreisrings ist an dieser Stelle nicht notwendig, da es sich nicht um ein Hohlkörper handelt. Jedoch lässt sich über ein Kreisringelement auch ein Kreiselement berechnen, wenn man die Integrationsgrenzen dementsprechend anpasst (Innenradius = 0), da das zu lösende Integral bei beiden Varianten gleich ist. Der Freischnitt des Kreisrings ist also nur der Vollständigkeit halber in der Lösung enthalten.

Wozu dann der Umstand mit der Betrachtung des Kreisringes, wenn ich den Innenradius dann gleich null setze und damit sowieso einen Kreis betrachte ?

30.06.2009, 14:18

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Volumenintegral Kreisring
Leider kann ich zu deinem letzten Post recht wenig sagen, weil ich nicht wirklich verstehe, was du machen willst. Deine Herangehensweise ist irgendwie merkwürdig.

Zitat:

Original von Hängemathe
Mir geht es nur um die integrale Berechnung der Kreisringfläche (siehe Bild).

OK. Da kenne ich nur einen Weg: parametrisieren und in die Transformationsformel für Integrale (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Transformationssatz) einsetzen. Das kann man z.B. wie folgt machen: Eine mögliche Parametrisierung des Kreisringes ist

$\begin{eqnarray*} \phi(r,t) := \big( r\cos(t),r\sin(t)\big),\quad r\in [R_i,R_a],\,t\in [0,2\pi). \end{eqnarray*}$

Die Determinante deren Jacobimatrix

$\begin{eqnarray*} \phi'(r,t) = \begin{pmatrix}\cos(t) & -r\sin(t)\\\sin(t) & r\cos(t)\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} \det\,\phi'(r,t) = r. \end{eqnarray*}$ Also folgt

$\begin{eqnarray*} A = \int_{\rm Kreisring}\,1\,dx\,dy = \int_{R_i}^{R_a}\,\int_0^{2\pi}\,r\,dt\,dr = 2\pi\int_{R_i}^{R_a}\,r\,dr = \pi\left(R_a^2 - R_i^2\right). \end{eqnarray*}$

30.06.2009, 14:38

Hängemathe

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,

also ich glaube meine Frage hat sich weitestgehend geklärt.

Zur Herangehensweise:

Das Massenträgheitsmoment eines Körpers ist definiert als:

$\begin{eqnarray*} \int_{(m)}^{}~(x^2+y^2)~dm = \int_{(m)}^{}~r^2~dm \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} dm= \rho dV \end{eqnarray*}$

Und das galt es jetzt noch in integraler Form aufzuschreiben für den vorliegenden Körper, wobei ich mir die Herangehensweise jetzt nicht selbst ausgedacht habe sondern das in der Mechanik ganz normal ist...

Verwundert hat mich dieser Kreisring...

30.06.2009, 14:49

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei diesen unglaublichen Ungenauigkeiten ist es klar, dass du durcheinanderkommst...

Ich finde es schlimm, dass bei der Anwendung der Mathematik die Intuition beim Aufschreiben so entscheidend ist. Intuition ist schwer zu vermitteln. Im Gegensatz zu eindeutig nachvollziehbaren logischen Schlüssen.

30.06.2009, 15:52

Hängemathe

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde die Erklärungen da auch häufig nicht prickelnd, da ich immer Schwierigkeiten habe mit Formeln usw. umzugehen die ich gar nicht wirklich verstehe. Ich brauche dann immer zu Hause recht lange das irgendwie logisch zu erklären, dabei mache ich es mir dann vermutlich noch selbst schwerer als es eigentlich ist.

In meinen Mechanik-Büchern wird es auch nicht besser erklärt, ich schreibe ja nicht sofort wenn ich nicht weiterkomme einen Beitrag hier :-)

Neue Frage »

Antworten »

Verschoben! Volumenintegral Kreisring

Verwandte Themen